Bài tập file word mức độ vận dụng cao bài 23: Phép cộng và phép trừ phân thức đại số

Câu 1: 

Ta có: $a+b+c=1\Rightarrow (a+b+c)^{2}=1\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)=1  (1)$

Ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow \frac{bc+ac+ab}{abc}=0\Rightarrow bc+ac+ab=0(2)$

Từ (1)  và (2) suy ra $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$.

Câu 2: 

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}$

$\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}=\frac{c-(a+b+c)}{c(a+b+c)}\Leftrightarrow (a+b)\left [ c(a+b+c)+ab \right ]=0$

$(a+b)(b+c)(c+a)=0$

Như vậy tương tự ta có

$\frac{1}{a^{2011}}+\frac{1}{b^{2011}}+\frac{1}{c^{2011}}=\frac{1}{a^{2011}+b^{2011}+c^{2011}}$

$\Leftrightarrow (a^{2011}+b^{2011})(b^{2011}+c^{2011})(c^{2011}+a^{2011})=0$

Mà $a^{2k+1}+b^{2k+1}=(a+b)(a^{2k}-a^{2k+1}b+a^{2k+2}b^{2}-...+b^{2k})\vdots (a+b)$

Như vậy ta có

$(a^{2011}+b^{2011})(b^{2011}+c^{2011})(c^{2011}+a^{2011})$

$=0\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)Q=0$

$\Leftrightarrow (a+b)(b+c)(c+a)=0$ (theo đúng điều kiện đề bài cho)