Bài tập file word mức độ thông hiểu bài 17: Tính chất đường phân giác của tam giác

Câu 1.

a) Trong tam giác ABC, ta có: AD là đường phân giác góc BAC

Suy ra: $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ (tính chất đường phân giác)

Mà AB = 15 (cm); AC = 20 (cm)

Nên $\frac{DB}{DC}=\frac{15}{20}$

Suy ra: $\frac{DB}{DB+DC}=1515+20$ (tính chất tỉ lệ thức)

Suy ra: 

$\frac{DB}{BC}=\frac{15}{35}$  

Nên: $DB=\frac{15}{35}.25=\frac{75}{7}$cm

Do đó, $DC=BC-BD=25-\frac{75}{7}=\frac{100}{7}$ (cm)

Xét tam giác ABC có: DE // AB, theo hệ quả định lí Thales ta có:

$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{BC}$ suy ra $\frac{DE}{15}=\frac{\frac{100}{7}}{25}$, vậy $DE=\frac{60}{7}$ cm

b) Xét tam giác ABC ta có: AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm,

nên $BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$

suy ra tam giác ABC vuông tại A

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AC.AB=\frac{1}{2}\times 20\times 15=150$ (cm²)

c) Kẻ AH⊥BCta có:

$SADBS_{ABC}=\frac{\frac{1}{2}AH.BD}{\frac{1}{2}AH.BC}=\frac{BD}{BC}=\frac{\frac{75}{7}}{25}=\frac{3}{7}$

Suy ra $S_{ADB}=\frac{3}{7}\times S_{ABC}=\frac{3}{7}\times 150=\frac{450}{7}(cm^{2})$

$\frac{S_{DCE}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}CE.DE}{\frac{1}{2}AC\times AB}=\left ( \frac{DE}{AB} \right )^{2}=\left ( \frac{\frac{60}{7}}{25}\right )^{2}=\frac{144}{1225}$

Suy ra $S_{DCE}=\frac{144}{1225}\times S_{ACB}=\frac{144}{1225}\times 150=\frac{864}{49}$(cm²)

$S_{ADE}=S_{ABC}-S_{ADB}-S_{DCE}=150-\frac{450}{7}-\frac{864}{49}=\frac{3336}{49}$ (cm²)

Câu 2. 

a) Tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore ta có: 

$BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}$

 suy ra BC = 5 cm

AD là tia phân giác góc A nên $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ suy ra $\frac{DB}{5-DB}=\frac{3}{4}$

⇒ $4DB=15-3DB$

⇒ $DB=\frac{15}{7}$ (cm),

do đó $DC=BC-DB=5-\frac{15}{7}=\frac{20}{7}$ (cm)

b) Ta có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}AH.BC$

⇒ $AH=\frac{AB\times AC}{BC}=\frac{3\times 4}{5}=\frac{12}{5}$ (cm)

Tam giác ABH vuông tại H nên:

$HB=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{3^{2}-\left ( \frac{12}{5} \right )^{2}}=\frac{9}{5}$

Ta có: $HD=DB-HB=\frac{15}{7}-\frac{9}{5}=\frac{12}{35}$(cm)

Tam giác ADH vuông tại H nên:

 $AD=\sqrt{HD^{2}+AH^{2}}=\sqrt{\left ( \frac{12}{35} \right )^{2}+\left ( \frac{12}{5} \right )^{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{7}$ (cm)

Câu 3: 

Xét tam giác ABM có MD là đường phân giác góc AMB suy ra $\frac{DA}{DB}=\frac{MA}{MB}$

Xét tam giác ACM có ME là đường phân giác góc AMC suy ra $\frac{EA}{EB}=\frac{MA}{MC}$

Mà MB = MC, do đó: $$\frac{EA}{EB}=\frac{MA}{MC}  , theo định lí Thales đảo ta có: DE // BC

Câu 4:

a) Theo tính chất đường phân giác: $\frac{AD}{DC}=\frac{BA}{BC}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{AD}{2}=\frac{CD}{3}=1$

Do đó, AD = 2cm, CD = 3cm

b) Ta có: Theo tính chất đường phân giác:

$\Rightarrow \frac{AE}{EB}=\frac{CA}{CB}=\frac{5}{6}\Rightarrow \frac{AE}{5}=\frac{EB}{6}=\frac{4}{11}$

 Do đó AE = $\frac{20}{11}$cm BE = $ \frac{24}{11}$ cm

Câu 5:

Ta có: $\widehat{AIE}=\widehat{BAH}+\widehat{ABI}=\frac{1}{2}(\widehat{A}+\widehat{B})=45^{\circ}+\frac{1}{2}\widehat{C}=\widehat{AEI}$

Suy ra ∆AIE cân tại A => AI = AE  (1).

 Áp dụng tính chất đường phân giác của ∆ABH và ∆BAC ta có:

$\frac{IH}{IA}=\frac{BH}{BA}\Rightarrow \frac{AB}{AI}=\frac{BH}{IH}$ (2);   $\frac{EC}{EA}=\frac{BC}{BA}\Rightarrow \frac{AB}{AE}=\frac{BC}{EC}$(3)

Từ (2) và (3) suy ra: $\frac{BH}{IH}=\frac{BC}{EC}$(4)

Vì ∆ABC vuông cân tại A nên BC = 2. BH

Từ đó kết hợp với (4) suy ra EC = 2. IH