Giải chi tiết bài 14 trang 105 sgk toán 9 tập 1 ctst

a) Xét tam giác ABC, ta có AB > BC. Vì O là trung điểm của AB và O' là trung điểm của BC, nên ta có OB = O'B.

Do đó, OB là phân giác của góc ABC và O'B là phân giác của góc BCA. Vì AB > BC, nên OB sẽ cắt O'B ngoài tam giác ABC tại một điểm B nằm giữa O và O).

Vậy, hai đường tròn (O) và (O') tiếp xúc ngoài tại B.

b) Gọi H là trung điểm của AC. Vì H là trung điểm của AC, nên AH = HC.

Xét tam giác AHE, với O là trung điểm của AE, H là trung điểm của AC, và OE là đoạn thẳng nối hai trung điểm, nên ta có OE song song AC và OE = AC/2

Vậy, DE là dây chứa giữa của đường tròn (O), vuông góc với AC tại H.

Do đó, tứ giác ADCE là hình thoi với AC là đường chéo và DE là dây chứa giữa của nó.

c) Gọi F là điểm cắt của DC và đường tròn (O'). Khi đó, từ phần a), ta đã biết rằng OB là phân giác của góc ABC và O'B là phân giác của góc BCA. Vì vậy, OB = O'B.

Ta cũng đã biết rằng DE là dây chứa giữa của đường tròn (O) vuông góc với AC tại H, do đó OB là đoạn thẳng nối hai điểm tiếp xúc của DE với đường tròn (O).

Vậy, ba điểm F, B, E thẳng hàng, với B nằm giữa F và E.

d) Gọi G là giao điểm của HF và O'. Ta cần chứng minh rằng GF là tiếp tuyến của đường tròn (O').

Vì H là trung điểm của AC, nên HF là dây chứa giữa của đường tròn (O), do đó góc giữa HF và DC bằng góc mở rộng HDC trên đường tròn (O).

Tuy nhiên, từ phần trước, chúng ta đã biết rằng AB và CD là hai đường kính của đường tròn (O), nên góc HDC là góc vuông.

Như vậy, góc giữa HF và DC là góc vuông HDC.

Tương tự, ta cũng có thể chứng minh rằng góc giữa GF và DC cũng là góc vuông GDC.

Nhưng hai góc này là góc giữa hai tiếp tuyến và dây của cùng một đường tròn, nên chúng bằng nhau.

Do đó, HF cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O') tại điểm G.