Câu hỏi tự luận mức độ vận dụng cao Toán 12 cd Bài 2: Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

Câu 1:

Vì hộp thứ nhất có 3 quả bóng bàn màu trắng và 2 quả bóng bàn màu vàng nên khi lấy 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất thì có hai khả năng: khả năng thứ nhất là lấy được 3 quả bóng bàn màu trắng và 1 quả bóng bàn màu vàng; khả năng thứ hai là lấy được 2 quả bóng bàn màu trắng và 2 quả bóng bàn màu vàng.

Xét các biến cố:

: “Lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ hai”;

: “Lấy được 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất, trong đó có 1 quả bóng bàn màu vàng”; 

: “Lấy được 4 quả bóng bàn ở hộp thứ nhất, trong đó có 2 quả bóng bàn màu vàng”. 

* Xét khả năng thứ nhất: 

Số cách lấy 4 quả bóng bàn từ hộp thứ nhất là , có 1 cách lấy 3 quả bóng bàn màu trắng và 2 cách lấy 1 quả bóng bàn màu vàng, suy ra .

Vì khi đó hộp thứ hai có 9 quả bóng bàn màu trắng và 5 quả bóng bàn màu vàng nên

* Xét khả năng thứ hai: 

Số cách lấy 4 quả bóng bàn từ hộp thứ nhất là , có cách lấy 2 quả bóng bàn màu trắng và 1 cách lấy 2 quả bóng bàn màu vàng, suy ra .

Vì khi đó hộp thứ hai có 8 quả bóng bàn màu trắng và 6 quả bóng bàn màu vàng nên

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

Vậy xác suất để lấy được quả bóng bàn màu vàng từ hộp thứ hai là

Câu 2: 

a) Xét các biến cố:

: “Lấy được viên bị màu trắng từ hộp II”;

: “Lấy được viên bị màu trắng từ hộp I bỏ sang hộp II”; 

: “Lấy được viên bi màu đen từ hộp I bỏ sang hộp II”.

Theo giả thuyết ta có:

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

Vậy xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bị màu trắng là

b) Gọi là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bi thuộc hộp I”. Khi đó ta cần tính .

Ta có: . Để tính , hay xác suất để lấy được viên bi màu trắng từ hộp II, biết rằng viên bi đó thuộc hộp I, ta xét các trường hợp sau: 

• Viên bi được lấy từ hộp I bỏ sang hộp II có màu đen. Khi đó xác suất lấy được viên bi trắng thuộc hộp I bằng 0.
• Viên bi được lấy từ hộp I bỏ sang hộp II có màu trắng. Khi đó xác suất lấy được viên bị màu trắng thuộc hộp I bằng

Do đó,

Theo công thức Bayes, ta có:

Vậy xác suất viên bi được lấy ra từ hộp II là viên bị thuộc hộp I, biết rằng viên bị đó màu trắng, là

Câu 3: 

a) Xét các biến cố:

: “Linh kiện được lấy ra không phải là phế phẩm”; 

: “Linh kiện được lấy ra do nhà máy I sản xuất”; 

: “Linh kiện được lấy ra do nhà máy II sản xuất”.

Theo giả thiết, ta có:

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

Vậy xác suất để linh kiện được lấy ra không phải là phế phẩm là . 

b) Xác suất linh kiện phế phẩm được lấy ra do nhà máy I sản xuất là:

Xác suất linh kiện phế phẩm được lấy ra do nhà máy II sản xuất là:

Vậy xác suất linh kiện phế phẩm được lấy ra do nhà máy II sản xuất là cao hơn.

Câu 4: 

Xét biến cố M: “Thí nghiệm thứ nhất thành công”

Khi đó

Theo giả thuyết, ta có:

Suy ra xác suất của biến cố A là:

Xác suất của biến cố B là:

Theo công thức xác suất toàn phần, xác suất của biến cố C là:

Câu 5: 

Gọi A là biến cố “Đồng xu xuất hiện mặt ngửa”

Nếu thì . Suy ra

Nếu thì . Suy ra

Vậy đạt giá trị lớn nhất là khi .