BÀI 22. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ (2 tiết)

TIẾT 1: TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC; 

RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

I. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC

HĐ1

- Phân thức mới: $\frac{2x(x+y)}{2x(x-y)}$. 

- Phân thức mới bằng phân thức đã cho vì:

2x(x+y).(x-y)=(x+y).2x(x-y)

HĐ2

- Phân thức sau khi chia: $\frac{x+1}{x^{2}+x+1}$

- Phân thức mới bằng phân thức đã cho vì:

(x-1)(x+1).(x$^{2}$+x+1)=(x+1).(x-1)(x$^{2}$+x+1)=(x$^{2}$-1)(x$^{2}$+x+1) 

Tính chất cơ bản

+ Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

$\frac{A}{B}$=$\frac{A.M}{B.M}$ (M là một đa thức khác đa thức 0).

+ Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:

$\frac{A}{B}$=$\frac{A.N}{B.N}$ (N là một nhân tử chung).

Ví dụ 1: (SGK – tr.9)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.9)

Luyện tập 1

Tử và mẫu có nhân tử chung là 15xy(x-y)

+ Chia tử cho nhân tử chung:

30xy$^{2}$(x-y):[15xy(x-y)]=2y 

+ Chia mẫu cho nhân tử chung:

45xy(x-y)$^{2}$:[15xy(x-y)]=3(x-y)

Vậy $\frac{30xy^{2}(x-y)}{45xy(x-y)^{2}}$=$\frac{2y}{3(x-y)}$.

=> Khẳng định đúng.

Luyện tập 2

Nhân cả tử và mẫu của $\frac{-x}{1-x}$ với (-1):

$\frac{-x}{1-x}$=$\frac{(-1).(-x)}{(-1).(1-x)}$=$\frac{x}{x-1}$

Chú ý

Tổng quát, ta có quy tắc đổi dấu: Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng nhân thức đã cho.

$\frac{A}{B}$=$\frac{-A}{-B}$

II. VẬN DỤNG

a) Rút gọn phân thức

- Rút gọn một phân thức là biến đổi phân thức đó thành một phân thức mới bằng nó nhưng đơn giản hơn.

HĐ3

$\frac{2x^{2}+2x}{x^{2}-1}$=$\frac{2x(x+1)}{(x-1)(x+1)}$

=> Nhân tử chung của cả tử và mẫu là: x+1

HĐ4

Chia tử cho nhân tử chung: 

2x(x+1):(x+1)=2x

Chia mẫu cho nhân tử chung:

(x-1)(x+1):(x+1)=x-1

Ta nhận được phân thức mới $\frac{2x}{x-1}$ bằng phân thức đã cho $\frac{2x^{2}+2x}{x^{2}-1}$.

Rút gọn một phân thức

Muốn rút gọn một phân thức đại số ta làm như sau:

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung.

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

Ví dụ 2: (SGK – tr.9)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.9)

Luyện tập 3

Có: x$^{3}$-y$^{3}$=(x-y)(x$^{2}$+xy+y$^{2}$)

Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung (x-y)

Ta có: $\frac{x-y}{x^{3}-y^{3}}$=$\frac{1}{x^{2}+xy+y^{2}}$

Tranh luận

Phân tích tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn nhân tử chung, ta có:

$\frac{x^{2}+2x}{3x^{2}+2x}$=$\frac{x(x+2)}{x(3x^{2}+2)}$=$\frac{x+2}{3x^{2}+2}$

Vậy tròn làm sai.

Thử thách nhỏ

$\frac{-ax^{2}-ax}{x^{2}-1}$=$\frac{-ax(x+1)}{(x-1)(x+1)}$=$\frac{-ax}{x-1}$

Ta có: -ax=3x => a=-3

b) Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

- Quy đồng nhẫu thức nhiều phân thức là biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt bằng các phân thức đã cho.

HĐ5

Ta có: 2x$^{2}$+2x=2x(x+1)

3x$^{2}$-6x=3x(x-2)

HĐ6

Mẫu thức chung: 6x(x+1)(x-2)

HĐ7

+ Nhân tử phụ của mẫu 2x$^{2}$+2x là:

6x(x+1)(x-2) : 2x(x+1)=3(x-2) 

+ Nhân tử phụ của mẫu 3x$^{2}$-6x là:

6x(x+1)(x-2): 3x(x-2)=2(x+1)  

HĐ8

$\frac{1.3(x-2)}{(2x^{2}+2x).3(x-2)}$=$\frac{3x-6}{6x(x+1)(x-2)}$

$\frac{1.2(x+1)}{(3x^{2}-6x).2(x+1)}$=$\frac{2x+2}{6x(x+1)(x-2)}$

Các bước thực hiện quy đồng

Muốn quy đồng mẫu thức có nhiều phân thức ta làm như sau:

- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm những mẫu thức chung.

- Tìm nhân tử phụ của mỗi mấu thức bằng cách chia MTC cho mấu thức đó.

- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Ví dụ 3: (SGK – tr.11)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.11)

Luyện tập 4

• Ta có: 

3x$^{2}$-3=3x$^{2}$-1=3(x-1)(x+1) 

x$^{3}$-1=(x-1)(x$^{2}$+x+1)

• MTC: 3(x-1)(x+1)(x$^{2}$+x+1)

• Nhân tử phụ của 3x$^{2}$-3 là:

3(x-1)(x+1)(x$^{2}$+x+1):[3(x-1)(x+1)]=x$^{2}$+x+1 

• Nhân tử phụ của x$^{3}$-1 là:

3(x-1)(x+1)(x$^{2}$+x+1):[(x-1)(x$^{2}$+x+1)]=3(x+1)

Thực hiện quy đồng, ta có:

$\frac{1}{3x^{2}-3}$=$\frac{x^{2}+x+1}{3(x-1)(x+1)(x^{2}+x+1)}$

$\frac{1}{x^{2}-1}$=$\frac{3(x+1)}{3(x-1)(x+1)(x^{2}+x+1)}$

Tranh luận

Ta thấy $\frac{x}{1-x}$=$\frac{-x}{x-1}$ (sử dụng quy tắc đổi dấu cho phân thức) 

MTC là x-1 sẽ hợp lí hơn, và ngắn gọn hơn.

=> Tròn chọn MTC hợp lí hơn