I. PHÉP CỘNG CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

1. Cộng hai phân thức cùng mẫu thức

HĐ1:

Ta có $\frac{-3}{5}+\frac{23}{5}=\frac{-3+23}{5}=\frac{20}{5}=4$

Kết luận: Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức và giữ nguyên mẫu thức:

$\frac{A}{M}+\frac{B}{M}=\frac{A+B}{M}$

Chú ý: Kết quả của phép cộng hai phân thức được gọi là tổng. Ta thường viết tổng này dưới dạng rút gọn.

Ví dụ 1 (SGK – tr.38)

Luyện tập 1:

$\frac{x-2y}{x^{2}+xy}+\frac{x+2y}{x^{2}+xy}=\frac{x-2y+x+2y}{x^{2}+xy}$

$=\frac{(x+x)+(2y-2y)}{x(x+y)}=\frac{2x}{x(x+y)}=\frac{2}{x+y}$

2. Cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau

HĐ2:

a) MTC: (x + 1)(x – 1).

Quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho, ta được:

$\frac{1}{x+1}=\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}$

$\frac{1}{x-1}=\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}$

b) Ta có: $\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}$

$=\frac{x-1}{(x+1)(x-1)}+\frac{x+1}{(x+1)(x-1)}$

$=\frac{x-1+x+1}{(x+1)(x-1)}=\frac{2x}{(x+1)(x-1)}$

Kết luận: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Ví dụ 2 (SGK – tr.39)

Luyện tập 2:

Ta có: $\frac{1}{x^{2}+xy}+\frac{1}{xy+y^{2}}=\frac{1}{x(x+y)}+\frac{1}{y(x+y)}$

$=\frac{y}{xy(x+y)}+\frac{x}{xy(x+y)}=\frac{x+y}{xy(x+y)}=\frac{1}{xy}$

3. Tính chất của phép cộng phân thức.

HĐ3:

Phép cộng phân số có các tính chất: giao hoán, kết hợp, cộng với 0.

Với các số a, b, c, d, e, g (b, d, g ≠ 0), ta có:

• Giao hoán: $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{c}{d}+\frac{a}{b}$
• Kết hợp: $(\frac{a}{b}+\frac{c}{d})+\frac{e}{g}=\frac{a}{b}+(\frac{c}{d}+\frac{e}{g})$
• Cộng với 0: $\frac{a}{b}+0=0+\frac{a}{b}=\frac{a}{b}$

Lưu ý: Nhờ tính chất kết hợp nên trong một dãy phép cộng nhiều phân thức, ta có thể không cần đặt dấu ngoặc.

Ví dụ 3 (SGK – tr.39)

Luyện tập 3:

$\frac{x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}+2xy+y^{2}}+\frac{2y}{x+y}+\frac{1-2y^{2}}{x^{2}+2xy+y^{2}}=\frac{x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}+2xy+y^{2}}+\frac{1-2y^{2}}{x^{2}+2xy+y^{2}}+\frac{2y}{x+y}$

$=\frac{x^{2}+y^{2}-1+1-2y^{2}}{x^{2}+2xy+y^{2}}+\frac{2y}{x+y}$

$=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+2xy+y^{2}}+\frac{2y}{x+y}$

$=\frac{(x+y)(x-y)}{(x+y)^{2}}+\frac{2y}{x+y}$

$=\frac{x-y}{x+y}+\frac{2y}{x+y}=\frac{x-y+2y}{x+y}$

$=\frac{x+y}{x+y}=1$

Ví dụ 4 (SGK tr.40)

II. PHÉP TRỪ CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

1. Quy tắc trừ hai phân thức

Ở lớp 6, ta đã biết trừ hai phân số cùng mẫu số và không cùng mẫu số và không cùng mẫu số. Cách làm đó vẫn đúng khi trừ hai phân thức có cùng mẫu thức và không cùng mẫu thức.

Kết luận: Muốn trừ hai phân thức cùng mẫu thức, ta trừ tử thức của phân thức bị trừ cho tử thức của phân thức trừ và giữ nguyên mẫu thức:

$\frac{A}{M}-\frac{B}{M}=\frac{A-B}{M}$

Muốn trừ hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi trừ hai phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Chú ý: Kết quả của phép cộng hai phân thức được gọi là hiệu. Ta thường viết hiệu này dưới dạng rút gọn.

Ví dụ 5 (SGK – tr.41)

Luyện tập 4:

a) $\frac{4x+3y}{x^{2}-y^{2}}-\frac{3x+4y}{x^{2}-y^{2}}$

$=\frac{(4x+3y)-(3x+4y)}{x^{2}-y^{2}}=\frac{4x+3y-3x-4y}{(x+y)(x-y)}$

$=\frac{x-y}{(x+y)(x-y)}=\frac{1}{x+y}$

b) $\frac{2xy-3y^{2}}{x^{2}-3xy}-\frac{x}{3x-9y}=\frac{y(2x-3y)}{x(x-3y)}-\frac{x}{3(x-3y)}$

$=\frac{3y(2x-3y)}{3x(x-3y)}-\frac{x^{2}}{3x(x-3y)}=\frac{3y(2x-3y)-x^{2}}{3x(x-3y)}$

$=\frac{6xy-9y^{2}-x^{2}}{3x(x-3y)}=-\frac{(x-3y)^{2}}{3x(x-3y)}$

$=-\frac{x-3y}{3x}=\frac{3y-x}{3x}$

2. Phân thức đối

Nhận xét: 

• Phân thức đối của phân thức $\frac{A}{B}$ kí hiệu là - $\frac{A}{B}$. Ta có: $\frac{A}{B}+\left ( -\frac{A}{B} \right )=0$
• Ta có: $-\frac{A}{B}=\frac{-A}{B}=\frac{A}{-B}$
• Phân thức đối của phân thức - $\frac{A}{B}$ là $\frac{A}{B}$, tức là $-\left (-\frac{A}{B}  \right )=\frac{A}{B}$

Chẳng hạn, $\frac{-3xy}{x^{2}+y^{2}}$ là phân thức đối của phân thức $\frac{3xy}{x^{2}+y^{2}}$. Ngược lại, $\frac{3xy}{x^{2}+y^{2}}$ là phân thức đối của phân thức -$\frac{-3xy}{x^{2}+y^{2}}$.

• Muốn trừ phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$, ta có thể cộng phân thức $\frac{A}{B}$ với phân thức đối của phân thức $\frac{C}{D}$, tức là $\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{A}{B}+\left (-\frac{C}{D}  \right )$

Ví dụ 6 (SGK – tr.42)

Luyện tập 5:

Ta có: $\frac{x-5y}{2x-3y}-\frac{24xy}{4x^{2}-9y^{2}}-\frac{x+8y}{3y-2x}$

$=\frac{x-5y}{2x-3y}+\frac{x+8y}{2x-3y}-\frac{24xy}{(2x-3y)(2x+3y)}$

$=\frac{2x+3y}{2x-3y}-\frac{24xy}{(2x-3y)(2x+3y)}$

$=\frac{(2x+3y)^{2}}{(2x-3y)(2x+3y)}-\frac{24xy}{(2x-3y)(2x+3y)}$

$=\frac{4x^{2}-12xy+9y^{2}}{(2x-3y)(2x+3y)}=\frac{(2x-3y)^{2}}{(2x-3y)(2x+3y)}=\frac{2x-3y}{2x+3y}$