CHƯƠNG V: CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU SỐ LIỆU KHÔNG GHÉP NHÓM

BÀI 13. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM

1. SỐ TRUNG BÌNH VÀ TRUNG VỊ

a. Số trung bình

HĐ1: 

Điểm trung bình lớp A: 5,92

Điểm trung bình lớp B: 6,28

HĐ2:

Phương pháp học của lớp B hiệu quả hơn. 

Kết luận:

Số trung bình (số trung bình cộng) của mẫu số liệu $x_{1}$+$x_{2}$+...+$x_{n}$, kí hiệu là x, được tính bằng công thức: 

$\bar{x}$=$\frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}$

Chú ý: Trong trường hợp mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số thì số trung bình được tính theo công thức: 

$\bar{x}$=$\frac{m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}+...+m_{k}x_{k}}{n}$,

Trong đó mk là tần số của giá trị x$_{k}$ và n = m$_{1}$ + m$_{2}$ + ... + m$_{k}$.

Ví dụ 1 (SGK – tr78)

Ý nghĩa: 

Số trung bình là giá trị trung bình cộng của các số trong mẫu số liệu, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu. 

Luyện tập 1:

Thời gian chạy trung bình cự li 100 m của các bạn trong lớp là:

$\frac{5.12+7.13+10.14+8.15+6.16}{5+7+10+8+6}$ ≈14,1

b. Trung vị 

HĐ3: 

a. Thu nhập trung bình của các thành viên trong công ty là

$\frac{20.1+4.5}{6}$=$\frac{40}{6}$ ≈6,67

b. Thu nhập trung bình này không phản ánh đúng thu nhập của nhân viên công ty vì thu nhập 4 triệu của nhân viên gần với mức trung bình, còn thu nhập 20 triệu của giám đốc thì lớn hơn rất nhiều so với mức trung bình. 

Kết luận: 

Trong trường hợp mẫu số liệu có giá trị bất thường (rất lớn hoặc rất bé so với đa số các giá trị khác), người ta không dùng số trung bình để đo xu thế trung tâm mà dùng trung vị.

Để tìm trung vị (kí hiệu là Me) của một mẫu số liệu, ta thực hiện như sau:

•   Sắp xếp các giá trị trong mẫu số liệu theo thứ tự không giảm. 

•   Nếu số giá trị của mẫu số liệu là số lẻ thì giá trị chính giữa của mẫu là trung vị. Nếu là số chẵn thì trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa của mẫu. 

Ví dụ 2 (SGK – tr79)

Ý nghĩa: Trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường trong khi số trung bình bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường. Vì vậy, khi mẫu số liệu có giá trị bất thường người ta thường dùng trung vị đại diện cho các số liệu thống kê. 

Luyện tập 2: 

+ Số trung bình: $\frac{48+53+51+31+53+112+52}{7}$≈57,14

+ Số trung vị: 

Sắp xếp lại số liệu theo thứ tự không giảm: 

31; 48; 51; 52; 53; 53; 112

Vậy số trung vị là 52

+ Vậy số trung vị phù hợp để đại diện cho chiều dài của 7 con cá voi trưởng thành.

2. TỨ PHÂN VỊ

HĐ4:

Sắp xếp dãy số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:

58; 69; 69; 74; 75; 77; 81; 87; 88; 92; 97

Do đó:

Nhóm giải tư: 58; 69; 69

Nhóm giải ba: 74; 75; 75

Nhóm giải nhì: 77; 81; 87

Nhóm giải nhất: 88; 92; 97

Ngưỡng điểm để phân loại thí sinh: 

- Ngưỡng điểm phân loại giữa nhóm giải tư và nhóm giải ba là:

$\frac{69+74}{2}$=71,5

- Ngưỡng điểm phân loại giữa nhóm giải ba và nhóm giải nhì là:

$\frac{75+77}{2}$=76

- Ngưỡng điểm phân loại giữa nhóm giải nhì và nhóm giải nhất là:

$\frac{87+88}{2}$=87,5

Vậy ba ngưỡng điểm giúp ban tổ chức phân loại thí sinh là 71,5; 76; 87,5.

Kết luận:

Để tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu có n giá trị, ta làm như sau:

• Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.

• Tìm trung vị. Giá trị này là Q$_{2}$.

• Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái Q$_{2}$ (không bao gồm Q$_{2}$ nếu n lẻ). Giá trị này là Q$_{1}$.

• Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải Q$_{2}$ (không bao gồm Q$_{2}$ nếu n lẻ). Giá trị này là Q$_{3}$.

Q$_{1}$, Q$_{2}$, Q$_{3}$ được gọi là các tứ phân vị của mẫu số liệu. 

Chú ý:

Q$_{1}$ được gọi là tứ phân vị thứ nhất hay tứ phân vị dưới, Q$_{3}$ được gọi là tứ phân vị thứ ba hay tứ phân vị trên.

Ví dụ 3 (SGK – tr80)

Luyện tập 3: 

Sắp xếp các giá trị theo thứ tự không giảm:

0; 0; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5

n = 35 là số lẻ nên trung vị Q$_{2}$ = 3 (ở vị trí số 18)

Ta tìm Q$_{1}$ là trung vị của nửa số liệu bên trái Q$_{2}$: 0; 0; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3 

Tìm được Q$_{1}$ = 2

Ta tìm Q$_{3}$ là trung vị của nửa bên trái Q$_{2}$:

3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5

Tìm được Q$_{3}$ = 4.

3. MỐT 

HĐ5:

a. Cỡ giày trung bình: 

$\frac{38.3+39.9+40.2+41}{3+9+2+1}$=$\frac{586}{15}$≈39,07

Số trung bình này không có ý nghĩa với cửa hàng. 

b. Cửa hàng nên nhập cỡ giày 39 với số lượng nhiều nhất vì cỡ giày 39 đang bán được nhiều nhất.

Kết luận:

Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất. 

Ý nghĩa:

Có thể dùng mốt để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu khi mẫu số liệu có nhiều giá trị trùng nhau. 

Ví dụ 4 (SGK - tr81)

Nhận xét: 

- Mốt có thể không là duy nhất. Chẳng hạn, với mẫu số liệu 

8   7   10   9   7   5   7   8   8

các số 7; 8 đều xuất hiện với số lần lớn nhất (3 lần) nên mẫu số liệu này có hai mốt là 7 và 8. 

- Khi các giá trị trong mẫu số liệu đều xuất hiện với tần số như nhau thì mẫu số liệu không có mốt. 

- Mốt còn được định nghĩa cho mẫu dữ liệu định tính (dữ liệu không phải là số). Ví dụ báo Tuổi trẻ đã thực hiện thăm dò ý kiến của bạn đọc với câu hỏi “Theo bạn, VFF nên chọn huấn luyện viên ngoại hay nội dẫn dắt đội tuyển bóng đá Việt Nam? 

 Tại thời điểm 21 giờ ngày 27-04-2021 kết quả bình chọn như sau: 

 Trong mẫu dữ liệu này, lựa chọn “huấn luyện viên ngoại” có nhiều người bình chọn nhất, được gọi là mốt. 

Vận dụng: 

- Lớp A:

+ Số trung bình: 5,92. 

+ Sắp xếp lại giá trị điểm khảo sát theo thứ tự không giảm: 

2; 2; 3; 3; 4; 4; ; 5; 5; 5; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 9; 9; 9. 

+ Số trung vị: 6 

+ n = 25, nên trung vị Q$_{2}$ = 6 (ở vị trí thứ 18)

Ta tìm Q$_{1}$ là trung vị của nửa bên trái Q$_{2}$: 2; 2; 3; 3; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 5; 6 tìm được Q$_{1}$ = 4,5.

Ta tìm Q$_{3}$ là trung vị của nửa bên phải Q$_{2}$: 7; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 9; 9; 9 tìm được Q$_{3}$ = 7,5

+ Vậy tứ phân vị là: Q$_{2}$ = 6; Q$_{1}$ = 4,5; Q$_{3}$ = 7,5.

+ Mốt là 7

- Lớp B:

+ Số trung bình: 6,28.

+ Sắp xếp lại điểm khảo sát theo thứ tự không giảm: 

3; 3; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; ;7; 7; 7; 8; 8; 9; 9; 10

+ Số trung vị: 6

+ Tứ phân vị là: Q$_{2}$ = 6; Q$_{1}$ = 5,5; Q$_{3}$ = 7,5.

+ Mốt là 7.

- Dựa vào điểm trung bình thì lớp B học tập hiệu quả hơn.

- Dựa vào trung vị và mốt thì hai lớp học hiệu quả như nhau.