I. ĐỊNH NGHĨA

1. Định nghĩa đường elip

HĐ1: 

Ta thấy tổng $MF_1 + MF_2$ luôn bằng độ dài vòng dây kín, do đó khi $M$ thay đổi, tổng $MF_1 + MF_2$ là một độ dài không đổi. 

Kết luận:

Cho hai điểm $F_1, F_2$ cố định có khoảng cách $F_1F_2 = 2c (c > 0)$.

Đường elip (còn gọi là elip) là tập hợp các điểm $M$ trong mặt phẳng sao cho $MF_1 + MF_2 = 2a$, trong đó $a$ là số cho trước lớn hơn $c$.

Hai điểm $F_1$ và $F_2$ được gọi là hai tiêu điểm của elip. 

2. Phương trình chính tắc của elip

HĐ2:

a. Do $A_1F_1 = a-c$ và $A_1F_2 = a + c$ nên $A_1F_1 + A_1F_2 = 2a$. Vậy $A_1(-a; 0)$ thuộc elip $(E)$.

Mà $A_1 (-a; 0)$ thuộc trục $Ox$ nên $A_1(-a; 0)$ là giao điểm của elip $(E)$ với trục $Ox$. 

Tương tự, ta chứng minh được $A_2(a; 0)$ là giao điểm của elip $(E)$ với trục $Ox$. 

b. Ta có: $B_2F_2 = \sqrt{(c-0)^2+(0-b)^2}= \sqrt{c^2+b^2}= \sqrt{a^2}= a$

Vì $B_2F_1 = B_2F_2$ nên $B_2F_1 + B_2F_2 = a + a = 2a$. Do đó, $B_2(0; b)$ thuộc elip $(E)$. Mà $B_2(0; b)$ thuộc trục $Oy$ nên $B_2(0; b)$ là giao điểm của elip $(E)$ với trục $Oy$.

Tương tự, ta chứng minh được: $B_1(0; -b)$ là giao điểm của elip $(E)$ với trục $Oy$.

Như vậy, elip $(E)$ đi qua bốn điểm $A_1(-a; 0), A_2(a; 0), B1(0; -b), B_2(0; b)$, với $b = \sqrt{a^2-c^2}$

Kết luận:

Khi chọn hệ trục toạ độ như trên, phương trình đường elip có thể viết dưới dạng: 

$\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}= 1$

Trong đó, $a > b > 0$

Đây gọi là phương trình chính tắc của elip. 

Chú ý:

Đối với elip $(E)$ có phương trình chính tắc như đã nêu ở trên, ta có:

+ $c^2 = a^2 – b^2$, ở đó $2c = F_1F_2$

+ Nếu điểm $M(x; y)$ thuộc elip $(E)$ thì $– a \leq x \leq a$. 

Ví dụ 1, 2 (SGK – tr95)

Luyện tập 1: 

Elip có phương trình chính tắc là: $\frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}= 1 (a > b > 0)$

Do $M(0; 3) \in (E)$ nên: $\frac{0^2}{a^2}+ \frac{3^2}{b^2}=1 \Rightarrow b^2= 3^2= 9 (1)$

Do $N(3; - \frac{12}{5}) \in (E)$ nên: $\frac{3^2}{a^2}+ \frac{\frac{12}{5}^2}{3^2}= 1$

$⟺ a^2= 25$

Vậy elip $(E)$ có phương trình chính tắc là: $\frac{x^2}{25}+ \frac{y^2}{9}= 1$

II. ĐƯỜNG HYPEBOL

1. Định nghĩa đường hypebol 

HĐ3:

Khi $M$ thay đổi, hiệu $MF_1 – MF_2= (MF_1 + MA) – (MF_2 + MA) = AB – I$ không đổi. 

Kết luận:

Cho hai điểm $F_1, F_2$ cố định có khoảng cách $F_1F_2  = 2c (c > 0).$

Đường hypebol (còn gọi là hypebol) là tập hợp các điểm $M$ sao cho $\left | MF_1-MF_2 \right |= 2a$, trong đó $a$ là số dương cho trước nhỏ hơn $c$. 

Hai điểm $F_1$ và $F_2$ được gọi là hai tiêu điểm của hypebol.

2. Phương trình chính tắc của đường hypebol

HĐ4: 

a. Vì $Oy$ là đường trung trực của $F_1F_2$ nên $O$ là trung điểm của $F_1F_2$. 

Do đó, $OF_1 = OF_2 = \frac{F_1F_2}{2} = \frac{2c}{2}= c$

Điểm $F_1$ thuộc trục $Ox$ và nằm về phía bên trái điểm $O$ và cách $O$ một khoảng bằng $c$ nên toạ độ của $F_1$ là $F_1(-c; 0)$.

Điểm $F_2$ thuộc trục $Ox$ và nằm về phía bên phải điểm $O$ và cách $O$ một khoảng bằng $c$ nên toạ độ của $F_2$ là $F_2(c; 0)$.

b.

Kết luận: 

Khi chọn hệ trục toạ độ như trên, phương trình đường hypebol có thể viết dưới dạng $\frac{x^2}{a^2}- \frac{y^2}{b^2}= 1$, trong đó $a > 0, b > 0$.

Đây gọi là phương trình chính tắc của hypebol. 

Chú ý:

Đối với hypebol $(H)$ có phương trình chính tắc như đã nêu ở trên, ta có:

+ $c^2 = a^2 + b^2$, ở đó $2c = F_1F_2$ và điều kiện $a > b$ là không bắt buộc.

+ Nếu điểm $M(x; y)$ thuộc hypebol $(H)$ thì $x \leq -a$ hoặc $x \geq a$. 

Ví dụ 3, 4 (SGK – tr98)

Luyện tập 2:

$4x^2 – 9y^2 = 1$

Phương trình chính tắc của đường hypebol: $\frac{x^2}{\frac{1}{4}}- \frac{y^2}{\frac{1}{9}}= 1$

III. ĐƯỜNG PARABOL

1. Định nghĩa đường parabol

HĐ5:

Khi M thay đổi, ta có: $MA + MB = MF + MB (= AB)$. Do đó $MA = MF$. 

Kết luận:

Cho một điểm $F$ cố định và một đường thẳng $∆$ cố định không đi qua $F$. 

Đường parabol (còn gọi là parabol) là tập hợp các điểm $M$ trong mặt phẳng cách đều $F$ và $∆$.

Điểm $F$ được gọi là tiêu điểm của parabol. Đường thẳng $∆$ được gọi là đường chuẩn của parabol. 

2. Phương trình chính tắc của parabol. 

HĐ6:

Kẻ $FH$ vuông góc với $∆ (H \in ∆)$. Đặt $FH = p > 0$. Ta chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $FH$ và $F$ nằm trên tia $Ox$ (Hình 56).

Suy ra: $F(\frac{p}{2}; 0), H(\frac{-p}{2}; 0)$ và phương trình đường thẳng $∆$ là $x + \frac{p}{2} = 0$

Do đó khoảng cách từ $M(x; y) \in (P)$ đến đường thẳng $∆$ là $\left | x+\frac{p}{2} \right |$

Ta có: $M(x; y) \in (P)$ khi và chỉ khi độ dài $MF$ bằng khoảng cách từ $M$ tới $∆$, tức là: 

$\sqrt{(x-\frac{p}{2})^2+y^2}=\left | x+\frac{p}{2} \right | \Leftrightarrow (x-\frac{p}{2})^2+y^2=(x+\frac{p}{2})^2+y^2$

$\Leftrightarrow y^2=(x+\frac{p}{2})^2-(x-\frac{p}{2})^2 \Leftrightarrow y^2= 2px$

Kết luận:

Khi chọn hệ trục toạ độ như trên, phương trình đường parabol có thể viết dưới dạng $y^2= 2px(p>0)$

Đây gọi là phương trình chính tắc của parabol.

Chú ý:

Đối với parabol $(P)$ có phương trình chính tắc $y^2= 2px (p > 0)$, ta có: 

+ Tiêu điểm là $F(\frac{p}{2}; 0)$ và phương trình đường chuẩn là: $x + \frac{p}{2} = 0$.

+ Nếu điểm $M(x; y)$ thuộc parabol $(P)$ thì $x \geq 0$. 

Ví dụ 5, 6 (SGK – tr 100).

Luyện tập 3:

a. Ta có: $x = \frac{y^2}{4} ⟺ y^2= 4x ⟺ y^2=2.2x$

Vậy phương trình chính tắc của parabol là: $y^2=2.2x$ với $p= 2$

b. Ta có: $x - y^2= 0 \Leftrightarrow y^2= x \Leftrightarrow y^2= 2.\frac{1}{2}x$.

Vậy phương trình chính tắc của parabol là: $y^2= 2.\frac{1}{2}x$ với $p = \frac{1}{2}$.

IV. MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TIỄN CỦA BA ĐƯỜNG CONIC

1. Mô hình hạt nhân nguyên tử: Các electron bay quanh hạt nhân trên các quỹ đạo hình elip như các hành tinh bay quanh Mặt Trời. 

2. Hiện tượng giao thoa của hai sóng: Các gợn sóng có hình các đường hypebol gọi là các vân giao thoa. 

3. Gương parabol: tia sáng phát ra từ tiêu điểm (tia tới) chiếu đến một điểm của parabol sẽ bị hắt lại (tia phản xạ) theo một tia song song (hoặc trùng) với trục của parabol. 

- Đèn pha: Bề mặt của đèn pha là một mặt tròn xoay sinh bởi một cung parabol quay quanh trục của nó, bóng đèn được đặt ở vị trí tiêu điểm của parabol đó. 

- Chảo vệ tinh: Điểm thu phát tín hiệu của máy được đặt ở vị trí tiêu điểm của parabol.