Bài giảng điện tử dạy thêm Toán 12 KNTT Bài 8: Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Nội dung giáo án

NHIỆT LIỆT CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI BÀI HỌC MỚI

KHỞI ĐỘNG

Trên bầu trời có ba chiếc máy bay đang bay. Hiện tại chúng ở các vị trí có tọa độ lần lượt là . (Đơn vị: mét)

a) Tính khoảng cách giữa chiếc máy bay 

ở vì trí và chiếc máy bay ở vị trí .

b) Tính  

Gợi ý trả lời:

a) Ta có:  m

b) Ta có:  .

Khi đó,

Suy ra,  

BÀI 8 – BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ 

HỆ THỐNG KIẾN THỨC

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ

Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vectơ, phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ

Trong không gian , cho hai vectơ và . Ta có:

;

;

với là một số thực.

Ví dụ: Trong không gian , cho hai vectơ

. Tính:

a) ;                                                                       b) .

Giải

a) Ta có: nên .

b) Ta có: nên .

Nhận xét: Vectơ cùng phương với vectơ khi và chỉ khi tồn tại số thực sao cho

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tam giác

Trong không gian , cho ba điểm không thẳng hàng và . Khi đó:

- Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là

- Tọa độ trọng tâm của tam giác là .

Ví dụ: Trong không gian , cho tam giác có , , . 

Tìm tọa độ trung điểm của và trọng tâm của tam giác .

Giải

Vì là trung điểm của đoạn thẳng nên tọa độ của điểm là suy ra .

Vì là trọng tâm của tam giác nên tọa độ của điểm là , suy ra .

2. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong không gian , tích vô hướng của hai vectơ và được xác định bởi công thức: 

Nhận xét:

• Hai vectơ và vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu .
• Nếu thì
• Nếu và   là hai vectơ khác thì

Chú ý: Nếu và thì 

.

Đặc biệt, khi trùng , ta nhận được công thức 

.

Ví dụ: Trong không gian , cho tam giác có

). 

a) Tính  .

b) Tính .

c) Tính .

Giải

a) Ta có:  

Khi đó,  .

b) Ta có: 

.

.

c) Ta có:

3. Vận dụng tọa độ của vectơ trong một số bài toán có liên quan đến thực tiễn

Ví dụ: Một thiết bị thăm dò đáy biển 

(Hình vẽ) được đẩy bởi một lực

  (đơn vị: N) giúp thiết bị 

thực hiện độ dời  

(đơn vị: m). Tính công sinh bởi lực .

Giải

Ta có:

Vậy công sinh bởi lực là . 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Biểu thức tọa độ của tổng, hiệu hai vectơ và tích của một số với một vectơ; Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam giác.

Phương pháp giải:

1) Trong không gian , cho hai vectơ và . Ta có:

;

;

với là một số thực.

Nhận xét: Vectơ cùng phương với vectơ khi và chỉ khi tồn tại số thực sao cho

2) Trong không gian , cho ba không thẳng hàng và . Khi đó:

- Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng là

- Tọa độ trọng tâm của tam giác là .

Bài 1. Trong không gian , cho hai vectơ , .

a) Tìm tọa độ của vectơ .

b) Tìm tọa độ của vectơ .

c) Tìm tọa độ của vectơ .

--------------- Còn tiếp ---------------