Bài giảng điện tử dạy thêm Toán 12 KNTT Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Nội dung giáo án

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC 

MÔN TOÁN!

KHỞI ĐỘNG

Giả sử bạn là chủ của một xưởng cơ khí vừa nhận được một đơn đặt hàng là thiết kế một bồn chứa nước hình trụ có nắp với dung tích 20 lít. Để tốn ít nguyên vật liệu nhất, bạn sẽ chọn giá trị nào cho độ cao bồn nước?

Trả lời:

Gọi lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của khối trụ. Khi đó ta có:

Để ít tốn nguyên vật liệu nhất, ta cần tìm sao cho diện tích toàn phần của khối trụ nhỏ nhất

Lập bảng biến thiên ta có:

CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

BÀI 5. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ 

GIẢI QUYẾT MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TIỄN

HỆ THỐNG 

KIẾN THỨC

1. Tốc độ thay đổi của một đại lượng

Đạo hàm là tốc độ thay đổi tức thời của đại lượng đối với tại điểm . 

• Nếu là hàm vị trí của một vật chuyển động trên một đường thẳng thì biểu thị vận tốc tức thời của vật (tốc độ thay đổi của độ dịch chuyển theo thời gian). Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời của vật: .
• Nếu là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hóa học tại thời điểm , thì là tốc độ phản ứng tức thời (tức là độ thay đổi nồng độ) của chất đó tại thời điểm .
• Nếu là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm , thì biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể tại thời điểm .
• Nếu là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất đơn vị hàng hóa, thì tốc độ thay đổi tức thời của chi phí đối với số lượng đơn vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên.

Ví dụ: Một chất điểm chuyển động theo quy luật , tính theo mét, tính theo giây. Trong 5 giây đầu tiên, thời điểm nào tại đó vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.

Giải:

Ta có:

             ,

Lập bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có .

2. Một vài bài toán tối ưu hóa đơn giản 

Quy trình giải một bài toán tối ưu hóa:

Bước 1: Xác định đại lượng mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán.

Bước 2: Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là , và biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo . Khi đó, đại lượng sẽ là hàm số của một biến . Tìm tập xác định của hàm số .

Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng các phương pháp đã biết và kết luận.

Ví dụ: Một công ty đánh giá rằng sẽ bán được lô hàng nếu tiêu phí hết số tiền là (triệu đồng) vào việc quảng cáo. Biết rằng và liên hệ với nhau bằng biểu thức , . Hãy tìm số lô hàng lớn nhất mà công ty có thể bán sau đợt quảng cáo và số tiền đã dành cho việc quảng cáo đó?

Giải:

Ta có:

Lập bảng biến thiên:

Vậy, nếu công ty dành 15 triệu cho việc quảng cáo thì công ty sẽ bán được nhiều nhất là 231 lô hàng.

LUYỆN 

TẬP

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Bài toán tốc độ thay đổi của một đại lượng

Phương pháp giải: 

Bước 1: Tìm hàm số biểu diễn cho đại lượng cần tính.

Bước 2: Ứng dụng đạo hàm vào để tìm các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bước 3: Kết luận.

Bài 1. Giả sử là số lượng cá thể trong một đám vi khuẩn tại thời điểm , là số lượng cá thể lúc ban đầu. Khi đó tốc độ phát triển về số lượng của vi khuẩn tại thời điểm chính là . Giả sử mẫu thử ban đầu của ta có vi khuẩn. Tốc độ phát triển sau 4 giờ sẽ là bao nhiêu con vi khuẩn?

Giải:

Ta có:

Vậy tốc độ phát triển sau 4 giờ của vi khuẩn là:

con vi khuẩn.

Bài 2: Trong một môi trường dinh dưỡng có 1000 vi khuẩn được cấy vào. Bằng thực nghiệm xác định được số lượng vi khuẩn tăng theo thời gian bởi quy luật (con vi khuẩn), trong đó là thời gian (đơn vị giây). Hãy xác định thời điểm sau khi thực hiện cấy vi khuẩn vào, số lượng vi khuẩn tăng lên là lớn nhất?

Giải:

Ta có tốc độ phát triển của đàn vi khuẩn tại thời điểm là:

Khi đó:

Lập bảng biến thiên, ta được:

Bài 2: Trong một môi trường dinh dưỡng có 1000 vi khuẩn được cấy vào. Bằng thực nghiệm xác định được số lượng vi khuẩn tăng theo thời gian bởi quy luật (con vi khuẩn), trong đó là thời gian (đơn vị giây). Hãy xác định thời điểm sau khi thực hiện cấy vi khuẩn vào, số lượng vi khuẩn tăng lên là lớn nhất?

Giải:

Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận .

Vậy sau 10 giây cấy vi khuẩn vào, số lượng vi khuẩn tăng lên là con.

Bài 3: Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích mặt hồ để khối lượng cá sau một vụ thu được nhiều nhất?

--------------- Còn tiếp ---------------