Bài giảng điện tử dạy thêm Toán 12 KNTT Bài 7: Hệ trục toạ độ trong không gian

Nội dung giáo án

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI BÀI GIẢNG HÔM NAY

KHỞI ĐỘNG

Xác định tọa độ điểm ở trên khối rubik như hình trên. Một cạnh của khối rubik là 3 

Ta dựng hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó:

;

;

.

 Áp dụng quy tắc hình hộp, ta có:

.

Vậy .

CHƯƠNG II: VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 7 – HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

HỆ THỐNG KIẾN THỨC

1. Hệ trục tọa độ trong không gian.

Khái niệm hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, ba trục đôi một vuông góc với nhau tại gốc của mỗi trục. Gọi lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục .

• Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc , hay đơn giản là hệ tọa độ .
• Điểm được gọi là gốc tọa độ.
• Các mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

Không gian với hệ tọa độ còn được gọi là không gian .

Ví dụ: Cho hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân tại , . Vẽ hệ trục tọa độ có gốc trùng với điểm , các điểm lần lượt nằm trên các tia và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ.

Giải

Với là gốc , ta vẽ được các trục như hình trên. 

Ba vectơ đơn vị trên ba trục lần lượt là tọa độ

2. Tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ trong không gian

Khái niệm tọa độ của điểm trong không gian.

Trong không gian , cho một điểm  tùy ý. Bộ ba số duy nhất sao cho   được gọi là tọa độ của điểm đối với hệ tọa độ . Khi đó, ta viết hoặc , trong đó là hoành độ, là tung độ, là cao độ của .

Ví dụ: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hình hộp chữ nhật có . Xác định tọa độ của điểm .

Trả lời:                          Ta có:  

                                          ;

Áp dụng quy tắc hình hộp, ta có:

Suy ra: .

Nhận xét: Nếu điểm có tọa độ đối với hệ trục tọa độ thì:

• Hình chiếu vuông góc của điểm trên các trục và có tọa độ lần lượt là .
• Hình chiếu vuông góc của trên các mặt phẳng có tọa độ lần lượt là .

Ví dụ: Trong không gian , cho điểm .

a) Tìm hình chiếu của điểm lên trục .

b) Tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng .

Trả lời:

a) Hình chiếu của điểm lên là .

b) Hình chiếu của điểm lên mặt phẳng là

Khái niệm tọa độ của vectơ trong không gian

Trong không gian , cho vectơ tùy ý. Bộ ba số duy nhất sao cho được gọi là tọa độ của vectơ đối với hệ tọa độ . Khi đó, ta viết hoặc 
.

Nhận xét

• Tọa độ của vectơ cùng là tọa độ của điểm sao cho  .
• Trong không gian, cho hai vectơ   và . Khi đó, nếu và chỉ nếu

Ví dụ: Trong không gian , hãy tìm tọa độ của các vectơ

a) ;

b) .

Trả lời:

a) Vì nên .

b) Vì nên .

Tọa độ của vectơ theo tọa độ hai đầu mút

Trong không gian , cho hai điểm và . Khi đó:

Ví dụ: Trong không gian , cho  . Tìm tọa độ của  .

Trả lời:

Ta có:  . 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Tìm tọa độ của điểm

Phương pháp giải:

• Trong không gian , cho một điểm  tùy ý. Bộ ba số duy nhất sao cho   được gọi là tọa độ của điểm đối với hệ tọa độ . Khi đó, ta viết hoặc , trong đó là hoành độ, là tung độ, là cao độ của .
• Sử dụng phép chiếu lên mặt phẳng tọa độ, trục tọa độ.

Bài 1. Trong không gian , xác định tọa độ điểm trong mỗi trường hợp sau:

a) trùng với gốc tọa độ;

b) nằm trên tia và .

c) nằm trên tia đối của tia và .

--------------- Còn tiếp ---------------