Bài giảng điện tử dạy thêm Toán 12 KNTT Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Nội dung giáo án

CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI TIẾT HỌC  

MÔN TOÁN! 

KHỞI ĐỘNG 

Quan sát đồ thị của hàm số 〖y=x〗^3+〖3x〗^2-4 và trả lời câu hỏi: 

1) Hàm số đồng biến trên khoảng nào? Nghịch biến trên khoảng nào? 

2) Hãy chỉ ra các điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số. 

Trả lời: 

1) Tập xác định của hàm số là R. 

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;-2) và (0;+∞), hàm số nghịch biến trên khoảng (-2;0). 

2) Hàm số đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu y_CT=-4.  

Hàm số đạt cực đại tại x=-2, giá trị cực đại y_CĐ=0. 

CHƯƠNG 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 

BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ  

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 

HỆ THỐNG  

KIẾN THỨC 

1. Tính đơn điệu của hàm số 

a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số 

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y=f(x) là hàm số xác định trên K. 

•Hàm số y=f(x) được gọi là đồng biến trên K nếu ∀x_1,x_2∈K, x_1<x_2 ⇒f(x_1 )<f(x_2). 

•Hàm số y=f(x) được gọi là nghịch biến trên K nếu ∀x_1,x_2∈K, x_1>x_2 ⇒f(x_1 )>f(x_2). 

      Chú ý: 

-Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải. 

-Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải. 

Ví dụ: Quan sát đồ thị hàm số y= 〖-x〗^3+3x^2-2 và tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. 

Giải: 

-Hàm số đã cho có tập xác định là R. 

-Hàm số đồng biến trên (0;2), nghịch biến trên các khoảng (-∞;0) và (2;+∞). 

Định lí 

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng K. 

a) Nếu f^′ (x)>0 với mọi x∈K thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng K. 

b) Nếu f^′ (x)<0 với mọi x∈K thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng K. 

Chú ý 

Định lí trên vẫn đúng trong trường hợp f^′ (x) bằng 0 tại một số hữu hạn điểm trong khoảng K. 

Ví dụ: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y=〖3x〗^2-x+5                   

Giải 

Hàm số đã cho có tập xác định R 

Ta có: y^′=6x-1  

y^′>0" với" x∈(1/6;+∞);       y^′<0" với" x∈(-∞;1/6) 

"Vậy hàm số đồng biến trên" (1/6;+∞)"; nghịch biến trên " (-∞;1/6). 

b) Sử dụng bảng biến thiên để xét tính đơn điệu của hàm số 

Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số y=f(x) 

1. Tìm tập xác định của hàm số. 

2. Tính đạo hàm f′(x). Tìm các điểm x_i  (i=1;2;…) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. 

3. Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số. 

4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. 

"Ví dụ: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số" y=(2x-1)/(x+2) 

Giải 

Hàm số đã cho có tập xác định R\{-2} 

"Ta có: " y^′=5/(x+2)^2 >0" với" x≠-2 

Bảng biến thiên của hàm số như sau: 

Vậy hàm số đồng biến trên (-∞;-2) và (-2;+∞). 

2. Cực trị của hàm số 

a) Khái niệm cực trị của hàm số 

Cho hàm số y=f(x) liên tục và xác định trên khoảng (a;b) (a có thể       là -∞, b có thể là +∞) và điểm x_0∈(a;b). 

•Nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x)<f(x_0 ) với mọi x∈(x_0-h;x_0+h) ⊂(a;b) và 〖x≠x〗_0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x_0. 

•Nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x)>f(x_0 ) với mọi x∈(x_0-h;x_0+h) ⊂(a;b) và 〖x≠x〗_0 thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x_0. 

Chú ý 

•Nếu hàm số y=f(x) đạt cực đại tại x_0 thì x_0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x). Khi đó, 〖f(x〗_0) được gọi là giá trị cực đại của hàm số f(x) và kí hiệu là f_CĐ hay y_CĐ. Điểm M(x_0;〖f(x〗_0)) được gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số. 

•Nếu hàm số y=f(x) đạt cực tiểu tại x_0 thì x_0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x). Khi đó, 〖f(x〗_0) được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f(x) và kí hiệu là f_CT hay y_CT. Điểm M(x_0;〖f(x〗_0)) được gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. 

•Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số. 

Ví dụ:  

Dựa vào đồ thị hàm số y=x^3-3x+1 hãy chỉ ra các điểm cực trị của đồ thị. 

Giải 

Từ đồ thị hàm số, ta có: 

Hàm số đạt cực tiểu tại x=1 và y_CT=-1. 

Hàm số đạt cực đại tại x=-1 và y_CĐ=3. 

b) Cách tìm cực trị của hàm số 

Định lí: 

Giả sử hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x_0 và có đạo hàm trên các khoảng (a;x_0 ) và (x_0;b). Khi đó: 

a) Nếu f′(x)<0 với mọi điểm x∈(a;x_0 ) và f′(x)>0 với mọi điểm  x∈(x_0;b) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm x_0. 

b)  Nếu f′(x)>0 với mọi điểm x∈(a;x_0 ) và f′(x)<0 với mọi điểm x∈(x_0;b) thì hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x_0. 

Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số y=f(x) 

1. Tìm tập xác định của hàm số. 

2. Tính đạo hàm f′(x). Tìm các điểm x_i  (i=1;2;…) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. 

3. Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số. 

4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. 

Cách tìm cực trị của hàm số 

1. Tìm tập xác định của hàm số. 

2. Tính đạo hàm f′(x). Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm f′(x) bằng 0 hoặc không tồn tại. 

3. Lập bảng biến thiên của hàm số. 

4. Từ bảng biến thiên suy ra cực trị của hàm số. 

Ví dụ: Tìm điểm cực trị của hàm số 

y= x^3+〖4x〗^2-3x+7 

Giải: 

Hàm số y= x^3+〖4x〗^2-3x+7 có tập xác định là R 

"Ta có: " y^′= 〖3x〗^2+8x-3; y^′=0⇔〖3x〗^2+8x-3=0⇔x=-3" hoặc" x=1/3 

Từ bảng biến thiên, ta có: 

Hàm số đạt cực đại tại  

x=-3 và y_CĐ=y(-3)=25. 

"Hàm số đạt cực tiểu tại"  

x=1/3 " và"  y_CT=y(1/3)=175/27. 

LUYỆN TẬP 

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1 

DẠNG 1: Xét tính đơn điệu của hàm số cho bởi biểu thức 

--------------- Còn tiếp ---------------