Lời giải Câu 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán năm 2017 của trường THPT Chu Văn An

Lời giải  câu 4 :

Đề bài :

Cho đường tròn tâm O, dây cung AB cố định (AB không phải là đường kính của đường tròn). Từ điểm M di động trên cung nhỏ AB ($M\neq A,M\neq B$), kẻ dây cung MN vuông góc với AB tại H. Từ M kẻ đường vuông góc với NA cắt đường thẳng NA tại Q.

a) Chứng minh bốn điểm A, M, H, Q nằm trên một đường tròn. Từ đó suy ra MN là tia phân giác của góc BMQ.

b) Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với NB cắt NB tại P. Chứng minh $\widehat{AMQ}=\widehat{PMB}$. 

c) Chứng minh ba điểm P, H, Q thẳng hàng.

d) Xác định vị trí của M trên cung AB để ( MQ.AN + MP.BN ) có gía trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải chi tiết :

a.  Ta có :   $\widehat{QAH}=\widehat{ QMH}$    (cùng chắn cung QH)

<=>   $\widehat{NAB}=\widehat{ QMN}$ 

Mà   $\widehat{NAB}=\widehat{ BMN}$  (cùng chắn cung NB)

=>  $\widehat{QMN}=\widehat{ BMN}$ 

Vậy MN là tia phân gíac của BMQ

b.  Ta có:  $\widehat{MAB}=\widehat{MNB}$ (cùng chắn cung MB)

=>  $\widehat{AMN}=\widehat{PMN}$  

Mà  $\widehat{BMN}=\widehat{QMN}$

=>   $\widehat{AMQ}=\widehat{PMB}$

c.   Ta có: $\widehat{AMQ}=\widehat{AHQ}$  (cùng chắn cung AQ)

Vì tứ giác  AHBP nội tiếp nên  $\widehat{PHB}=\widehat{PMB}$ (cùng chắn cung BP)

Và  $\widehat{AMQ}=\widehat{PMB}$  =>   $\widehat{AHQ}=\widehat{PHB}$

Mặt khác : vì ba điểm A, H, B thẳng hàng  =>  ba điểm P, H, Q thẳng hàng.

Vậy ba điểm P, H, Q thẳng hàng.

d.  Ta có: MQ.AN + MP.BN = 2($S_{AMN} + S_{BMN}$) = MN.AH + MN.BH = MN.AB

Vì AB không đổi nên MQ.AN + MP.BN có giá trị lớn nhất khi MN lớn nhất

<=>   MN là đường kính => M nằm chính giữa cung nhỏ AB.

Vậy  M nằm chính giữa cung nhỏ AB thì ( MQ.AN + MP.BN ) có gía trị lớn nhất.