Giải câu 8 bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

a) Ta có:  $y' = 3x^{2} + 2(m + 3)x = x[3x + 2(m + 3)]$

=> $y' = 0 <=> x[3x + 2(m + 3)] = 0$

<=> $\left\{\begin{matrix}x_{1}=0 & \\ x_{2}=\frac{-2(m+3)}{3}=-\frac{2m}{3}-2 & \end{matrix}\right.$

TH1:  $x_{1}=x_{2}<=>\frac{-2m}{3}-2=0$

=> $m=-3$

Mà $y=3x^{2}\geq 0$ => Hàm số luôn đồng biến trên R nên không có cực trị   => (loại).

=> Để hàm số có cực trị thì $m ≠ -3$.

TH2: $x_{1}<x_{2}$

Ta có bảng biến thiên:

Nhận xét: Điểm cực đại tại x = 0 => (loiaj).

TH3: $x_{1}>x_{2}$

Ta có bảng biến thiên:

Nhận xét: Điểm cực đại tại $x=\frac{-2m}{3}-2$.

Theo bài ra để hàm số có điểm cực đại là $x = -1$ <=> $\frac{-2m}{3}-2=-1<=> m=-\frac{3}{2}$

Vậy $m=-\frac{3}{2}$ thì hàm số có điểm cực đại là $x = -1$.

b)  Đồ thị ($C_{m}$) cắt trục hoành tại x = -2 <=> $(-2)^{3} + (m + 3)(-2)^{2} + 1 - m = 0$ (*)

<=> $-8 + 4(m + 3) + 1 - m = 0$

<=> $3m + 5 = 0 => m=-\frac{5}{3}$

Vậy $m=-\frac{5}{3}$ thì đồ thị ($C_{m}$) cắt trục hoành tại $x = -2$.