Giải câu 4 bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

a)   $x^{3} - 3x^{2} + 5 = 0$     (1)

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số  $y =x^{3} - 3x^{2} + 5  và trục hoành ( y = 0 ).

Xét hàm số $y=x^{3} - 3x^{2} + 5$ ta có:

• TXĐ: D = R
• Sự biến thiên:

          Ta có:  $y' = 3x^{2} - 6x = 3x(x - 2)$

            =>  $y' = 0 => x = 0 ; x = 2$

•  Giới hạn:

• Bảng biến thiên:

• Đồ thị:

=> Đồ thị hàm số  $y = x^{3} - 3x^{2} + 5$ chỉ cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất.

=>  Phương trình $x^{3} - 3x^{2} + 5 = 0$ chỉ có 1 nghiệm.

b)   $-2x^{3} + 3x^{2} - 2 = 0$

<=>  $2x^{3} - 3x^{2} = -2$     (2)

Số nghiệm của phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị hàm số  $y = 2x^{3} - 3x^{3}$ và đường thẳng $y = -2$.

Xét hàm số  $y = 2x^{3} - 3x^{2}$

• TXĐ: D = R
• Sự biến thiên:

           Ta có:  $y' = 6x^{2} - 6x = 6x(x - 1)$

            =>  $y' = 0 => x = 0 ; x = 1$

• Giới hạn:

•  Bảng biến thiên:

• Đồ thị:

=>  Đồ thị hàm số $y = 2x^{3} - 3x^{2}$ chỉ cắt đường thẳng $y = -2$ tại 1 điểm duy nhất.

=>  Phương trình $2x^{3} - 3x^{2} = -2$ chỉ có 1 nghiệm.

c)   $2x^{2} - x^{4}= -1$     (3)

Số nghiệm của phương trình (3) là số giao điểm của đồ thị hàm số  $y = 2x^{2} - x^{4}$ và đường thẳng $y = -1$.

Xét hàm số $y = 2x^{2} - x^{4}$ ta có:

• TXĐ: D = R
• Sự biến thiên:

             Ta có:  $y' = 4x - 4x^{3} = 4x(1 - x^{2})$

                 => $y' = 0 => x = 0 ; x = ±1$

• Giới hạn:

•  Bảng biến thiên:

• Đồ thị:

=> Đồ thị hàm số  $y = 2x^{2} - x^{4}$ cắt đường thẳng $y = -$1 tại hai điểm.

=> Phương trình $2x^{2} - x^{4} = -$ có hai nghiệm phân biệt.