Dạng 3: Xét dấu các hệ số của hàm bậc nhất trên bậc nhất, phân tích đồ thị hàm số.

I.Phương pháp giải

Xét đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ ($c\neq 0, ad-cb\neq 0$). Ta có:

a) Đồ thị có TCN là đường thẳng $y=\frac{a}{c}$.

• TCN nằm phía trên trục hoành $\Leftrightarrow \frac{a}{c}>0\Leftrightarrow a.c>0$.
• TCN nằm phía dưới trục hoành $\Leftrightarrow \frac{a}{c}<0\Leftrightarrow a.c<0$.
• TCN là trục hoành $\Leftrightarrow \frac{a}{c}=0\Leftrightarrow a.c=0$.

b) Đồ thị có TCĐ là đường thẳng $x=\frac{-d}{c}$.

• TCĐ nằm bên phải trục tung $\Leftrightarrow \frac{-d}{c}>0\Leftrightarrow d.c<0$;
• TCĐ nằm bên trái trục tung $\Leftrightarrow \frac{-d}{c}<0\Leftrightarrow d.c>0$;
• TCĐ là trục tung $\Leftrightarrow \frac{-d}{c}=0\Leftrightarrow d=0$.

c) Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm $M(0; \frac{b}{d})$:

• M nằm phía trên trục hoành $\Leftrightarrow \frac{b}{d}>0\Leftrightarrow b.d>0$;
• M nằm phía dưới trục hoành $\Leftrightarrow \frac{b}{d}<0\Leftrightarrow b.d<0$;
• M nằm thuộc trục hoành $\Leftrightarrow \frac{b}{d}=0\Leftrightarrow b=0$.

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ ($c\neq 0, ad-bc\neq 0$) có đồ thị như hình vẽ.

Chứng minh $\left\{\begin{matrix}ad>0\\ bc<0\end{matrix}\right.$.

Bài giải:

Nhìn vào đồ thị ta thấy:

• Đồ thị có TCN là đường thẳng $y=\frac{a}{c}$, đường thằng này nằm phía trên trục hoành $\Leftrightarrow \frac{a}{c}>0\Leftrightarrow a.c>0$.
• Đồ thị có TCĐ là đường thẳng $x=\frac{-d}{c}$, đường thẳng nằm bên trái trục tung $\Leftrightarrow \frac{-d}{c}<0\Leftrightarrow d.c>0$.
• Giao điểm của đồ thị với trục tung nằm bên dưới trục hoành  $\Leftrightarrow \frac{b}{d}<0\Leftrightarrow b.d<0$.

Ta chọn a > 0 nên suy ra $\left\{\begin{matrix}c>0\\ b<0\\ d>0\end{matrix}\right.$. Do đó $\left\{\begin{matrix}ad>0\\ bc<0\end{matrix}\right.$ (đpcm).

 Bài tập 2: Hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ ($c\neq 0, ad-bc\neq 0$) có đồ thị như hình vẽ.

Xác định dấu của ad, bc.

Bài giải:

Nhìn vào đồ thị ta thấy:

• Đồ thị có TCN là đường thẳng $y=\frac{a}{c}$, đường thằng này nằm phía trên trục hoành $\Leftrightarrow \frac{a}{c}>0\Leftrightarrow a.c>0$.
• Đồ thị có TCĐ là đường thẳng $x=\frac{-d}{c}$, đường thẳng nằm bên phải trục tung $\Leftrightarrow \frac{-d}{c}>0\Leftrightarrow d.c<0$.
• Giao điểm của đồ thị với trục tung nằm bên dưới trục hoành  $\Leftrightarrow \frac{b}{d}<0\Leftrightarrow b.d<0$.

Ta chọn a > 0 nên suy ra $\left\{\begin{matrix}c>0\\ b>0\\ d<0\end{matrix}\right.$. Do đó $ad<0; bc>0$ .