Giải câu 10 bài ôn tập chương 4: Bất đẳng thức, bất phương trình sgk Đại số 10 trang 107

Đặt \(x=\sqrt a, y = \sqrt b\)

Điều kiện \(x>0; y>0\)

\(\Rightarrow {a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} = {{{x^2}} \over y} + {{{y^2}} \over x} = {{{x^3} + {y^3}} \over {xy}} = {{(x + y)({x^2} + {y^2} - xy)} \over {xy}}\)

Ta lại có \(x^2+y^2≥ 2xy\)(bất đẳng thức Cô-si)

\(\Rightarrow x^2+y^2- xy ≥ xy ⇔{{{x^2} + {y^2} - xy} \over {xy}} \ge 1\)

\(\Rightarrow {{{x^3} + {y^3}} \over {xy}}≥ x+y \)

Hay \( {{{x^2}} \over y} + {{{y^2}} \over x} \ge x + y\)

Hay \({a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a  + \sqrt b \)(đpcm)