Giải chi tiết bài 3 trang 97 sgk toán 9 tập 1 ctst

a) Gọi số đo của cung nhỏ là \( x \) đơn vị đo, khi đó số đo của cung lớn là 3x đơn vị đo.

Vì cung lớn có số đo gấp ba lần cung nhỏ, nên ta có:

3x = x + 180^o

Suy ra:

2x = 180^o

x = 180^o / 2 = 90^o

Vậy, số đo của cung nhỏ là 90^o và số đo của cung lớn là 3.90^o = 270^o

b) Để chứng minh rằng khoảng cách từ tâm O đến dây cung AB có độ dài bằng AB/2 , ta có thể sử dụng tính chất của đường tròn và các tam giác vuông.

Gọi H là điểm chiếu vuông góc của O lên AB. Khoảng cách từ O đến H là bán kính của đường tròn.

Vì AB là dây cung, nên OH là phân giác của góc AOB. Vậy, ta có:

OHA = OBA = ½ . số đo của cung lớn = ½ . 270^o = 135^o

Vì tam giác OHA là tam giác vuông tại H, ta có: tan(∠OHA)=  OH / AH​

Tuy nhiên, vì OHA=135∘ và OH là bán kính của đường tròn, ta có thể tính OH. Vì OH là bán kính, nên OH=R, trong đó R là bán kính của đường tròn.

AH=OH×tan(∠OHA)=R×tan(135∘)

Nhưng tan(135∘)= -1 , do đó AH=−R. Tuy nhiên, khoảng cách từ O đến AB phải là một giá trị không âm, nên ta thường lấy giá trị tuyệt đối của AH, ta có:

OH = |AH| = |-R| = R

Vậy, ta thấy rằng khoảng cách từ tâm O đến dây cung AB có độ dài bằng bán kính của đường tròn R, hay OH = R. Do đó, OH = AB/2