I. ĐỊNH NGHĨA

HĐ1

Ta thấy Độ dài của các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác ABCD là bằng nhau.

Định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

Ví dụ 1: (SGK – tr.113)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.113)

II. TÍNH CHẤT 

HĐ2

a) Do ABCD là hình thoi => AB = BC = CD = DA

Tứ giác ABCD có AB = CD; AD = BC nên là hình bình hành.

b) Do ABCD là hình bình hành nên OB = OD

Xét ∆OAD và ∆OAB có:

OA chung; AD = AB; OD = OB

=> $\widehat{AOD}=\widehat{AOB}$. mặt khác chúng lại là 2 góc bù nhau nên $\widehat{AOD}=\widehat{AOB}$ = $90^{\circ}$

=> AC ⊥ BD tại O.

c) Xét ∆ABC và ∆ADC có:

AC chung; AB = AD; BC = DC (theo câu a)

=> ∆ABC = ∆ADC (c.c.c)

=> $\widehat{BAC}=\widehat{DAC}$ nên AC là phân giác $\widehat{BAD}$.

Nhận xét: Hình thoi là một hình bình hành nên hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành.

Định lí: Trong một hình thoi:

• Các cạnh đối song song;
• Các góc đối bằng nhau;
• Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường;
• Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh.

Ví dụ 2: (SGK – tr.114)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.114).

Luyện tập 1

Ta có: ABCD là hình thoi, AB = AD = DC = CB;  $\widehat{ABC}$ = 120°.

=> ∆ABD cân tại A.

Lại có BD là phân giác ABC (tính chất hình thoi).

=> $\widehat{ABD}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}=\frac{1}{2}.120^{o}=60^{o}$

Vậy ∆ABD là tam giác cân có một góc $\widehat{ABD}=60^{o}$ nên là tam giác đều.

III. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT

HĐ3

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AD = BC.

Mà AB = BC => AB = BC = CD = DA

Vậy ABCD là hình thoi.

b) 

Do ABCD là hình bình hành => Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

=> ACBD tại trung điểm O của BD

=> AC là trung trực của BD.

Vì AC là đường trục trực của BD => AD = AB

Theo câu a, hình bình hành ABCD có hai cạnh kề AD và AB bằng nhau nên là hình thoi.

Dấu hiệu nhận biết

• Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
• Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

Ví dụ 3: (SGK – tr.115)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.115)

Luyện tập 2

Do MN = MA => M là trung điểm AN

Tứ giác ABNC có hai đường chéo AN và BC cắt nhau tại trung điểm M mỗI đường.

=> ABNC là hình bình hành.

Mặt khác ∆ABC cân tại A, AM là trung tuyến, cũng là đường cao => AM ⊥ BC hay AN ⊥ BC.

=> Hình bình hành ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường nên ABCD là hình thoi.