I. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

HĐ1

a) DB = 2cm; DC = 3cm

b) AB = 4cm; AC = 6cm

c) $\frac{DB}{DC}=\frac{2}{3};\frac{AB}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$

Nhận xét: Trong ∆ABC phân giác AD chia cạnh đối diện BC thành hai đoạn thẳng DB, DC tỉ lệ với hai cạnh kề AB, AC.

Tính chất: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

Chứng minh: (SGK – tr.67)

2. Ứng dụng Tính chất đường phân giác của tam giác vào các bài toán

Ví dụ 1: (SGK – tr. 67)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.67)

Luyện tập 1

Vì ABCD là hình vuông nên AC là tia phân giác của $\widehat{DAB}$ => AC là đường phân giác trong ∆NAM.

Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác

Ta có: $\frac{CM}{CN}=\frac{AM}{AN}$ (đpcm).

Luyện tập 2

Xét ∆ABC có AD là đường phân giác

=> $\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DC}$

Mà AB < AC => $\frac{AB}{AC}$ < 1 => $\frac{DB}{DC}$ < 1

=> DB < DC.

Ví dụ 2: (SGK – tr.68)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.68)

Luyện tập 3

Xét ∆ABC có AD, BE, CF là các đường phân giác nên $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$; $\frac{EC}{EA}=\frac{BC}{AB}$; $\frac{FA}{FB}=\frac{AC}{BC}$

Ta có: $\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}.\frac{FA}{FB}=\frac{AB}{AC}.\frac{BC}{AB}.\frac{AC}{BC}=1$ = 1 (đpcm)

Ví dụ 3: (SGK – tr.68)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.68)

Luyện tập 4

Lấy E thuộc AD sao cho BE//AC

Theo hệ quả định lí Thalès, có: $\frac{DB}{DC}=\frac{BE}{AC}$

Mà $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$ nên $\frac{BE}{AC}=\frac{AB}{AC}$ => AB = BE

Khi đó ∆ABE cân tại B => $\widehat{BAE}=\widehat{BEA}$

Mà BE // AC nên $\widehat{BEA}=\widehat{EAC}$ => $\widehat{BAE}=\widehat{EAC}$

Vậy AD là phân giác của góc $\widehat{BAC}$.