CHƯƠNG IV: VECTƠ

BÀI 9. TÍCH CỦA MỘT SỐ VECTƠ VỚI MỘT SỐ

1. TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ

HĐ1:

a) Theo quy tắc ba điểm,

$\underset{a}{\rightarrow}$+$\underset{a}{\rightarrow}$=$\underset{AB}{\rightarrow}$+$\underset{BC}{\rightarrow}$=$\underset{AC}{\rightarrow}$

Do đó hai vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$+$\underset{a}{\rightarrow}$ và $\underset{AC}{\rightarrow}$ bằng nhau.

Vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$+$\underset{a}{\rightarrow}$ cùng hướng với vectơ $\underset{AB}{\rightarrow}$, có độ dài gấp hai lần độ dài của vectơ $\underset{AB}{\rightarrow}$.

b) Vì $\underset{AB}{\rightarrow}$=$\underset{a}{\rightarrow}$ và $\underset{BC}{\rightarrow}$=$\underset{a}{\rightarrow}$ nên B là trung điểm của AC. Do đó vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$+$\underset{a}{\rightarrow}$=$\underset{AC}{\rightarrow}$ cùng hướng với vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$=$\underset{AB}{\rightarrow}$ và độ dài của $\underset{a}{\rightarrow}$+$\underset{a}{\rightarrow}$ gấp đôi độ dài của $\underset{a}{\rightarrow}$.

Định nghĩa:

Tích của một vectơ $\underset{a}{\rightarrow} \neq \underset{0}{\rightarrow}$ với một số thực k>0 là một vectơ, kí hiệu là k$\underset{a}{\rightarrow}$, cùng hướng với vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ và có độ dài bằng k|$\underset{a}{\rightarrow}$|.

Câu hỏi:

1$\underset{a}{\rightarrow}$=$\underset{a}{\rightarrow}$

HĐ2: 

+) $\underset{OM}{\rightarrow}$ và $\underset{a}{\rightarrow}$ cùng hướng, $\underset{ON}{\rightarrow}$ và $\underset{a}{\rightarrow}$ ngược hướng.

+) |$\underset{OM}{\rightarrow}$|=$\sqrt{2}$|$\underset{a}{\rightarrow}$|

|$\underset{ON}{\rightarrow}$|=$\sqrt{2}$|$\underset{a}{\rightarrow}$|

+ $\underset{OM}{\rightarrow}$=$\sqrt{2}$.$\underset{a}{\rightarrow}$

Định nghĩa:

Tích của một vectơ $\underset{a}{\rightarrow} \neq \underset{0}{\rightarrow}$ với một số thực k<0 là một vectơ, kí hiệu là k$\underset{a}{\rightarrow}$, ngược hướng với vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ và có độ dài bằng (-k)|$\underset{a}{\rightarrow}$|.

Chú ý:

Ta quy ước k$\underset{a}{\rightarrow}$=$\underset{0}{\rightarrow}$ nếu $\underset{a}{\rightarrow}$=$\underset{0}{\rightarrow}$ hoặc k = 0.

Nhận xét: 

Vectơ ka có độ dài bằng |k||$\underset{a}{\rightarrow}$| và cùng hướng với $\underset{a}{\rightarrow}$ nếu k≥0, ngược hướng với $\underset{a}{\rightarrow}$ nếu $\underset{a}{\rightarrow} \neq \underset{0}{\rightarrow}$ và k<0.

Câu hỏi:

-$\underset{a}{\rightarrow}$=(-1)$\underset{a}{\rightarrow}$

Ví dụ 1 (SGK -tr 56)

Chú ý:

Hai vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$ và $\underset{b}{\rightarrow}$ ($\underset{b}{\rightarrow} \neq \underset{0}{\rightarrow}$) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k để $\underset{a}{\rightarrow}$=k$\underset{b}{\rightarrow}$.

Luyện tập 1:

Khẳng định đúng: a, c.

Khẳng định sai: b.

2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ 

HĐ3:  

Mệnh đề đúng: a, b, c, d.

HĐ4: 

3($\underset{u}{\rightarrow}$+$\underset{v}{\rightarrow}$)=3$\underset{OM}{\rightarrow}$, 3$\underset{u}{\rightarrow}$+3$\underset{v}{\rightarrow}$=$\underset{OC}{\rightarrow}$.

Do hai vectơ $\underset{OC}{\rightarrow}$,$\underset{OM}{\rightarrow}$ cùng hướng và $\underset{OC}{\rightarrow}$ = 3$\underset{OM}{\rightarrow}$ nên $\underset{OC}{\rightarrow}$=3$\underset{OM}{\rightarrow}$.

Do đó 3($\underset{u}{\rightarrow}$+$\underset{v}{\rightarrow}$) = 3$\underset{u}{\rightarrow}$ + 3$\underset{v}{\rightarrow}$

Tính chất:

Với hai vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$,$\underset{b}{\rightarrow}$ và hai số thực k, t, ta luôn có:

• -k(t$\underset{a}{\rightarrow}$)=(kt)$\underset{a}{\rightarrow}$;

• (k+t)$\underset{a}{\rightarrow}$=k$\underset{a}{\rightarrow}$+t$\underset{a}{\rightarrow}$

• k($\underset{a}{\rightarrow}$+$\underset{b}{\rightarrow}$)=k$\underset{a}{\rightarrow}$+k$\underset{b}{\rightarrow}$;

k($\underset{a}{\rightarrow}$-$\underset{b}{\rightarrow}$)=k$\underset{a}{\rightarrow}$-k$\underset{b}{\rightarrow}$

• 1$\underset{a}{\rightarrow}$=$\underset{a}{\rightarrow}$;(-1)$\underset{a}{\rightarrow}$=-$\underset{a}{\rightarrow}$

Ví dụ 2 (SGK – tr57)

Luyện tập 2:

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có:

$\underset{GA}{\rightarrow}$+$\underset{GB}{\rightarrow}$+$\underset{GC}{\rightarrow}$=$\underset{0}{\rightarrow}$

$\underset{OA}{\rightarrow}$-$\underset{OG}{\rightarrow}$+$\underset{OB}{\rightarrow}$-$\underset{OG}{\rightarrow}$+$\underset{OC}{\rightarrow}$-$\underset{OG}{\rightarrow}$=$\underset{0}{\rightarrow}$

Vậy $\underset{OA}{\rightarrow}$+$\underset{OB}{\rightarrow}$+$\underset{OC}{\rightarrow}$=3$\underset{OG}{\rightarrow}$

Nhận xét:

- Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\underset{IA}{\rightarrow}$+$\underset{IB}{\rightarrow}$=$\underset{0}{\rightarrow}$

- Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB, với điểm O tùy ý, ta có: $\underset{OA}{\rightarrow}$+$\underset{OB}{\rightarrow}$=2$\underset{OI}{\rightarrow}$.

- Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\underset{GA}{\rightarrow}$+$\underset{GB}{\rightarrow}$+$\underset{GC}{\rightarrow}$=0.

- Điểm G là trọng tâm tam giác ABC, với điểm O tùy ý, ta có: $\underset{OA}{\rightarrow}$+$\underset{OB}{\rightarrow}$+$\underset{OC}{\rightarrow}$=3$\underset{OG}{\rightarrow}$

Luyện tập 3:

$\underset{u}{\rightarrow}$=$\underset{a}{\rightarrow}$+2$\underset{b}{\rightarrow}$; v=-2$\underset{a}{\rightarrow}$+3$\underset{b}{\rightarrow}$

Chú ý:

Cho hai vectơ không cùng phương $\underset{a}{\rightarrow}$ và $\underset{b}{\rightarrow}$. Khi đó, mọi vectơ $\underset{u}{\rightarrow}$ đều biểu thị (phân tích) được một cách duy nhất theo hai vectơ $\underset{a}{\rightarrow}$,$\underset{b}{\rightarrow}$, nghĩa là có duy nhất cặp số (x; y) sao cho $\underset{u}{\rightarrow}$=x$\underset{a}{\rightarrow}$+y$\underset{b}{\rightarrow}$.

Ví dụ 3 (SGK – tr58)

Nhận xét:

Ta trở lại vấn đề đã được nêu trong phần đầu bài học. Điểm khối tâm M của hệ các chất điểm A$_{1}$,A$_{2}$,…,A$_{n}$ với các khối lượng tương ứng m$_{1}$,m$_{2}$,…,m$_{n}$ được xác địinh bởi đẳng thức vectơ

$m_{1}\underset{MA_{1}}{\rightarrow}$+$m_{2}\underset{MA_{2}}{\rightarrow}$+⋯+$m_{n}\underset{MA_{n}}{\rightarrow}$=$\underset{0}{\rightarrow}$.

Vì vậy, việc xác định điểm khối tâm được quy về việc xác định điểm thoả mãn đẳng thức vectơ tương ứng.