CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

BÀI 3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

HĐ1: Biểu thức tính số tiền bán vé thu được (đơn vị nghìn đồng) ở rạp chiếu phim đó theo x và y:

50x + 100y 

a) 50x + 100y≥20000

b) 50x + 100y<20000.

Định nghĩa:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là:

ax+by≤c(ax+by≥c,ax+by<c,ax+by>c)

Trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

Ví dụ 1 (SGK – tr23)

HĐ2: Cặp số (x; y) = (100; 100) thỏa mãn bất phương trình hai ẩn

50x + 100y < 20 000.

Nếu rạp chiếu phim bán được 100 vé loại 1 và 100 vé loại 2 thì số tiền thu được là 15 triệu đồng. Do đó rạp chiếu phim phải bù lỗ.

Cặp số (x; y) = (150; 150) thỏa mãn bất phương trình hai ẩn 50x + 100y≥20000.

Nếu rạp chiếu phim bán được 150 vé loại 1 và 150 vé loại 2 thì số tiền thu được là 22,5 triệu đồng. Do đó rạp chiếu phim không phải bù lỗ.

Định nghĩa:

Cặp số (x$_{o}$; y$_{o}$) được gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax+by≤c nếu bất đẳng thức ax$_{o}$+by$_{o}$≤c đúng.

Ví dụ 2 (SGK – tr23)

Luyện tập 1.

a) Ví dụ hai nghiệm của bất phương trình đã cho là: (x; y) = (0; 1), (x ; y) = (1; 1).

b) Với y = 0, có vô số giá trị x mà x≥0 thỏa mãn bất phương trình đã cho.

Nhận xét:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

2. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ.

HĐ3: 

a) Các điểm O, A, B có thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d.

Thay tọa độ điểm A: 2.(-1) – 3 = -5 < 4

Thay tọa độ điểm B: 2.(-2) – (-2) = -2 < 4

Thay tọa độ điểm O: 2.0 – 0 = 0 <4.

b) Các điểm C, D có thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d.

Thay tọa độ điểm C: 2.3 – 1 = 5 >4.

Thay tọa độ điểm D: 2.4 – (-1) = 9 > 4.

Định nghĩa:

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hơp các điểm có tọa độ là nghệm của bất phương trình ax+by≤c được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

- Người ta chứng minh được rằng đường thẳng d có phương trình ax + by = c chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành hai nửa mặt phẳng bờ d:

+ Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn ax+by>c

+ Nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn ax + by <c.

Bờ d gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn ax + by = c.

Ví dụ 3 (SGK – tr24)

Cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax+by≤c (SGK- tr24)

+ Bước 1: Vẽ đường thẳng d: ax + by = c

+ Bước 2: Lấy M(x$_{o}$) ∉d

+ Bước 3: Tính ax$_{o}$+by$_{o}$ so sánh với c.

+ Bước 4: 

Nếu ax$_{o}$+by$_{o}$≤ c thì nửa mặt phẳng bờ d chứa M$_{o}$ là miền nghiệm của bất phương trình. 

Nếu ax$_{o}$+by$_{o}$> c thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa M$_{o}$ là miền nghiệm của bất phương trình. 

Lưu ý: 

+ Nếu c≠0thì ta chọn Mo chính là gốc tọa độ.

+ Nếu c = 0 thì ta chọn Mo có tọa độ (0; 1) hoặc (0; 1)

Ví dụ 4 (SGK – tr24)

Chú ý:

Miền nghiệm của bất phương trình 

ax+by<clà miền nghiệm của bất phương trình ax+by≤cbỏ đi đường thẳng ax + by = c và biểu diễn đường thẳng bằng nét đứt.

Luyện tập 2:

Bước 1: Vẽ đường thẳng d: 2x + y = 200

trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Bước 2: Lấy điểm O(0; 0) không thuộc d và thay x = 0, y = 0 vào biểu thức 2x + y ta được: 2. 0 + 0 < 200.

Do đó miền nghiệm của bất phương trinh là nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm O(0; 0) không kể đường thẳng d (miền không bị gạch)

Ví dụ 5 (SGK – tr25)

Vận dụng:

Gọi số phút gọi nội mạng sử dụng là x (phút), số phút gọi ngoại mạng sử dụng là y (phút).

Khi đó, số tiền phải trả là: x + 2y (nghìn đồng).

Nếu em muốn số tiền phải trả ít hơn 200 nghìn đồng thì: x + 2y < 200.

Ta tìm miền nghiệm của bất phương trình x + 2y < 200 như sau:

• Vẽ đường thẳng d: x + 2y = 200.

• Ta lấy gốc tọa độ O(0; 0) và tính 0 + 2.0 = 0 <200.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ không kể đường thẳng d.

Vậy điểm (x; y) nằm trong miền tam giác OAB không kể cạnh AB thì số tiền phải trả ít hơn 200 nghìn đồng.