I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

1. Phương trình đường tròn 

HĐ1:

a. Khoảng cách từ gốc toạ độ $O (0; 0)$ đến điểm $M (3; 4)$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ là: 

$OM = \left | \overrightarrow{OM} \right |= \sqrt{3^2 + 4^2}= 5$

b. Với hai điểm $I(a; b)$ và $M(x; y)$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, ta có:

$IM = \sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2}$

Nhận xét: 

Với hai điểm $I(a; b)$ và $M(x; y)$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, ta có:

$IM = \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$

HĐ2:

a. Mối liên hệ giữa x và y là: $x^2 + y^2= 5$

b. Mối liên hệ giữa x và y là: $(x-a)^2 + (y-b)^2= R^2$

Kết luận:

Phương trình đường tròn tâm $I(a; b)$ bán kính $R$ là: $(x-a)^2 + (y-b)^2= R^2$

Ví dụ 1, 2 (SGK – tr88)

Luyện tập 1:

Bán kính đường tròn tâm I là: $IA = \left | \overrightarrow{IA} \right |= \sqrt{2^2+(-3)^2}= \sqrt{13}$

Phương trình đường tròn tâm $I(6; -4)$ đi qua điểm $A(8; -7)$ là: $(x-6)^2 + (y+4)^2 = 13$

HĐ3:

Ta có: 

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2 \Leftrightarrow x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 - R^2 = 0$

$⇔ x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c= 0 (a^2 + b^2 - R^2= c)$

Nhận xét:

Ta có thể viết phương trình $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$ của đường tròn tâm $I(a; b)$ bán kính $R$ về phương trình có dạng là $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c= 0$. Dạng đó thường được gọi là phương trình tổng quát của đường tròn. 

Ví dụ 3 (SGK – tr88)

Luyện tập 2:

$x^2 + y^2+2kx+4y+6k-1=0$

$\Leftrightarrow x^2+2kx+k^2+y^2+4y+4=k^2-6k+5$

$\Leftrightarrow (x+k)^2+(y+2)^2= (\sqrt{k^2-6k+5})^2$

Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn $\Leftrightarrow k^2-6k+5>0$

$⟺k<1$ hoặc $k>5$.

2. Phương trình đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Ví dụ 4 (SGK – tr89)

Luyện tập 3:

Giả sử tâm đường tròn là điểm $I(a; b)$. Ta có:

$IA = IB = IC \Leftrightarrow IA^2= IB^2= IC^2$

Vì $IA^2= IB^2, IB^2= IC^2$ nên:

$\left\{\begin{matrix}
(1-a)^2 + (2-b)^2= (5-a)^2 + (2-b)^2 & & \\
(5-a)^2 + (2-b)^2= (1-a)^2 + (-3-b)^2 & &
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
a=3 & & \\
b=\frac{-1}{2} & &
\end{matrix}\right.$

Vậy $I(3; \frac{-1}{2})$ và $R = IA = \sqrt{(-2)^2 + (\frac{5}{2})^2}= \frac{\sqrt{41}}{2}$

Vậy phương trình đường tròn đi qua $3$ điểm $A, B, C$ là: $(x-3)^2 + (y + \frac{1}{2})^2= \frac{41}{4}$

II. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

HĐ4:

a. Do $∆$ là pháp tuyến của đường tròn $(C)$ tại điểm $M_o$ nên $∆$ vuông góc với $IM_o$. Vậy $IM_o$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $∆$.

b. Toạ độ $\overrightarrow{IM_o}= (x_o-a; y_o-b)$

c. Đường thẳng $∆$ đi qua điểm $M_o$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{IM_o}$ là: 

$(x_o-a)(x-x_o) + (y_o-b)(y-y_o)= 0$

Kết luận:

+ Đường thẳng $∆$ đi qua điểm $M_0(x_0; y_0)$ và có vectơ pháp tuyến 

$\overrightarrow{IM_o}= (x_o-a; y_o-b)$

+ Phương trình tiếp tuyến $∆$ là $(x_o-a)(x-x_o)+(y_o-b)(y-y_o)= 0$

Ví dụ 5 (SGK – tr90)

Luyện tập 4: 

Đường tròn tâm $I(3; -7)$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M(-1; -4)$ thuộc đường tròn $(x-3)^2+(y+7)^2= 25$ là:

$(-1 – 3)(x + 1) + (-4 + 7)(y + 4) = 0 ⟺ -4(x + 1) + 3(y + 4) = 0$

$\Leftrightarrow -4x + 3y + 8 = 0$. 

Ví dụ 6 (SGK – tr90)