I. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG.

1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng

HĐ1:

+ Vẽ một đoạn thẳng bất kì song song với đường thẳng $∆$.

+ Đánh dấu mũi tên chiều của đoạn thẳng đó, ta được 1 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán. 

Kết luận: 

Vectơ $\overrightarrow{u}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $∆$ nếu $\overrightarrow{u} \neq \overrightarrow{0}$ và giá của $\overrightarrow{u}$ song song hoặc trùng với $∆$. 

Nhận xét:

+ Nếu $\overrightarrow{u}$ là một vectơ chỉ phương của $∆$ thì $k\overrightarrow{u} (k≠0)$ cũng là một vectơ chỉ phương của $∆$.

+ Một đường thẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó. 

2. Phương trình tham số của đường thẳng

HĐ2:

a. Hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{M_o}M$ cùng phương với nhau.

b. Xét điểm $M(x; y) \in ∆$. Vì $\overrightarrow{M_o}M$ cùng phương với $\overrightarrow{u}$ nên có số thực $t$ sao cho $\overrightarrow{M_o}{M}= t\overrightarrow{u}$.

c. Do $\overrightarrow{M_o}M= (x - x_o; y - y_o), \overrightarrow{u}= (a;b)$ nên 

$\overrightarrow{M_o}M= t\overrightarrow{u} ⟺  \left\{\begin{matrix}
x-x_o=at & & \\
y-y_o=bt & &
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x=x_o+at & & \\
y=y_o+bt & &
\end{matrix}\right. (I)$

Ngược lại, nếu điểm $M (x; y)$ trong mặt phẳng toạ độ thoả mãn hệ $(I)$ thì $M(x; y) \in ∆$. 

Kết luận:

Hệ $\left\{\begin{matrix}
x=x_o+at & & \\
y=y_o+bt & &
\end{matrix}\right. (a^2 + b^2 > 0$ và $t$ là tham số) được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $∆ $đi qua $M_o(x_o; y_o)$ và nhận $\overrightarrow{u}= (a;b)$ làm vectơ chỉ phương. 

Nhận xét:

Cho đường thẳng $∆$ có phương trình tham số là: $\left\{\begin{matrix}
x=x_o+at & & \\
y=y_o+bt & &
\end{matrix}\right. (a^2 + b^2 > 0$ và $t$ là tham số)

+ Với mỗi giá trị cụ thể của $t$, ta xác định được một điểm trên đường thẳng $∆$. Ngược lại, với mỗi điểm trên đường thẳng $∆$, ta xác định được một giá trị cụ thể của $t$. 

+ Vectơ $\overrightarrow{u}= (a; b)$ là một vectơ chỉ phương của $∆$.

Ví dụ 1 (SGK – tr74)

Luyện tập 1:

a. Gọi điểm $A \in ∆ \Rightarrow M(1 – 2t; -2 + t)$

+ Chọn $t = 1 => M_1(-1; -1)$

+ Chọn $t = 0 => M_2(1; -2)$

b. Thay điểm $C(-1; -1)$ vào đường thẳng $∆$ ta được:

$\left\{\begin{matrix}
-1=1-2t & & \\
-1=-2+t & &
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
t=1 & & \\
t=1 & &
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow t=1$

Vậy $C(-1; -1) \in ∆$.

Thay toạ độ điểm $D(1; 3)$ vào đường thẳng $∆$ ta được:

$\left\{\begin{matrix}
1=1-2t & & \\
3=-2+t & &
\end{matrix}\right.
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
t=0 & & \\
t=5 & &
\end{matrix}\right.$  vô nghiệm

Vậy $D(1; 3) \notin ∆$

II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG 

1. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng.

HĐ3:

+ Vẽ một đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng $∆$.

+ Vẽ hướng mũi tên trên đoạn thẳng đó, ta được vectơ chỉ phương thỏa mãn yêu cầu bài toán. 

Kết luận:

Vectơ $\overrightarrow{n}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $∆$ nếu $\overrightarrow{n} \neq \overrightarrow{0}$ và giá của vectơ $\overrightarrow{n}$ vuông góc với $∆$.

Nhận xét:

+ Nếu $\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của $∆$ thì $k\overrightarrow{n} (k \neq 0)$ cũng là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.

+ Nếu đường thẳng $∆$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}= (a; b)$ thì vectơ $\overrightarrow{n}= (-b; a)$ là một vectơ pháp tuyến của $∆$.

2. Phương trình tổng quát của đường thẳng

HĐ4:

a. Phương của hai vectơ $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{M_o}M$ vuông góc với nhau.

b. Ta có: $\overrightarrow{M_o}M = (x - x_o; y - y_o); \overrightarrow{n}= (a;b)$

Xét điểm $M(x; y) \in ∆$. Vì $\overrightarrow{M_o}M \perp n$ nên $\overrightarrow{M_o}M . \overrightarrow{n}= 0$

$⟺ a(x - x_o) + b(y - y_o)= 0 ⟺ ax + by - ax_o - by_o = 0$

Đặt $c = -ax_o - by_o$ ta được phương trình $ax + by + c = 0 (II)$.

Ngược lại, nếu điểm $M(x; y)$ trong mặt phẳng toạ độ thoả mãn phương trình $(II)$ thì $M(x; y) \in ∆$.

Kết luận:

Phương trình $ax + by + c = 0$ (a và b không đồng thời bằng 0) được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng. 

Nhận xét:

+ Đường thẳng $∆$ đi qua điểm $M_o(x_o; y_o)$ và nhận $\overrightarrow{n}= (a;b)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là:

$a(x - x_o) + b(y - y_o) = 0 ⟺ ax + by + (-ax_o - by_o) = 0$.

+ Mỗi phương trình $ax + by + c = 0$ (a và b không đồng thời bằng 0) đều xác định một đường thẳng $∆$ trong mặt phẳng toạ độ nhận một vectơ pháp tuyến là \overrightarrow{n}= (a; b)$.

Ví dụ 2 (SGK – tr76)

Luyện tập 2:

a.

+ Toạ độ của một vectơ pháp tuyến của $∆$ là: $\overrightarrow{n}= (1; -1)$.

+ Toạ độ vectơ chỉ phương của $∆$ là: $\overrightarrow{u}= (1; 1)$. 

b.

+ Chọn $x = 0$, thay vào phương trình đường thẳng $∆$ ta được: $1 – y + 1 = 0 ⟺ y= 2$.

Vậy điểm $A(0; 1)$ thuộc đường thẳng $∆$.

+ Chọn $x = 1$, thay vào phương trình đường thẳng $∆$ ta được: $0 – y + 1 = 0 ⟺ y=1$.

Vậy điểm $B(0; 1)$ thuộc đường thẳng $∆$.

3. Những dạng đặc biệt của phương trình tổng quát.

HĐ5: 

a.

Nếu $b = 0$ và $a \neq 0$ thì phương trình đường thẳng $∆$ trở thành $ax + c = 0$. Khi đó đường thẳng $∆$ song song hoặc trùng với trục $Oy$ và cắt trục $Ox$ tại điểm $(\frac{-c}{a}; 0)$.

b.

Nếu $b \neq 0$ và $a = 0$ thì phương trình đường thẳng $∆$ trở thành $by + c = 0$. Khi đó đường thẳng $∆$ song song hoặc trùng với trục $Ox$ và cắt trục $Oy$ tại điểm $(0; \frac{-c}{b})$

c.

Nếu $b \neq 0$ và $a \neq 0$ thì phương trình đường thẳng $∆$ có thể viết thành

$y = \frac{-a}{b}x - \frac{c}{b}$

Khi đó, đường thẳng $∆$ là đồ thị hàm số bậc nhất. 

$y = \frac{-a}{b}x - \frac{c}{b}$ với hệ số góc là $k = \frac{-a}{b}$

Nhận xét:

+ Đường thẳng $∆$ có phương trình tổng quát $ax + by + c = 0$ (a hoặc b khác 0) là đồ thị hàm số bậc nhất khi và chỉ khi $a \neq 0$ và $b \neq 0$.

+ Phương trình trục hoành là $y = 0$, phương trình trục tung là $x = 0$. 

III. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 

1. Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến. 

Phương trình đường thẳng $∆$ đi qua điểm $M_0(x_0; y_0)$ và nhận $\overrightarrow{n}= (a; b) (\overrightarrow{n} \neq \overrightarrow{0})$ làm vectơ pháp tuyến là $a(x – x_0) + b(y – y_0) = 0$. 

2. Lập phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương.

Đường thẳng $∆$ đi qua điểm $M_0(x_0; y_0)$ và nhận $\overrightarrow{u} = (a; b) (\overrightarrow{u} \neq \overrightarrow{0})$ làm vectơ chỉ phương, nếu $ab \neq 0$ thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng $∆$ ở dạng:

$\frac{x - x_0}{a}= \frac{y - y_0}{b}$

3. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm.

+ Đường thẳng $∆$ đi qua hai điểm $A(x_0; y_0), B(x_1; y_1)$, nếu $x_0 \neq x_1$ và $y_0 \neq y_1$ thì ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng $∆$ ở dạng:

$\frac{x - x_0}{x_1 - x_0}= \frac{y - y_0}{y_1 - y_0}$

+ Đường thẳng $∆$ đi qua hai điểm $A(a; 0)$ và $B(0; b)$ với $ab \neq 0$ thì ta có thể viết phương trình của đường thẳng $∆$ ở dạng: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b}= 1 (*)$

Phương trình dạng $(*)$ được gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn, đường thẳng này cắt $Ox$ và $Oy$ lần lượt tại $A(a; 0)$ và $B(0; b)$. 

Ví dụ 3 – 5 (SGK – tr 78, 79)