Soạn giáo án buổi 2 Toán 11 CTST Chương 8 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

HOẠT ĐỘNG CỦA GV - HS

DỰ KIẾN SẢN PHẨM

*Chuyển giao nhiệm vụ

- GV đặt câu hỏi và cùng HS nhắc lại kiến thức phần lí thuyết cần ghi nhớ trong bài “Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng” trước khi thực hiện các phiếu bài tập.

* Thực hiện nhiệm vụ:

- HS tiếp nhận nhiệm vụ, ghi nhớ lại kiến thức, trả lời câu hỏi.

* Báo cáo kết quả: đại diện một số HS đứng tại chỗ trình bày kết quả.

* Nhận xét đánh giá: GV đưa ra nhận xét, đánh giá, chuẩn kiến thức.

1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

- Đường thẳng  gọi là vuông góc với mặt phẳng  nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng  nằm trong , kí hiệu .

Định lí 1:

Nếu đường thẳng  vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau  và  cùng nằm trong mặt phẳng  thì .

Định lí 2:

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

2. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.

Định lí 3

a) Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Định lí 4

a) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Định lí 5

a) Cho đường thẳng  song song với mặt phẳng . Đường thẳng nào vuông góc với  thì cũng vuông góc với .

b) Nếu đường thẳng  và mặt phẳng  (không chứa  ) cùng vuông góc với một đường thẳng  thì chúng song song với nhau.

3. Phép chiếu vuông góc

Định nghĩa

Cho mặt phẳng  và đường thẳng  vuông góc với . Phép chiếu song song theo phương của  lên mặt phẳng  được gọi là phép chiếu vuông góc lên .

*) Định lí ba đường vuông góc

Định lí 6

Cho đường thẳng  nằm trong mặt phẳng  và  là đường thẳng không nằm trong  và không vuông góc với . Gọi  là hình chiếu vuông góc của  trên . Khi đó  vuông góc với  khi và chỉ khi  vuông góc với .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 1

DẠNG 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Phương pháp giải:

Để chứng minh đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng  ta chứng minh:

·     vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong .

·     song song với đường thẳng  mà  vuông góc với .

Bài 1. Cho tứ diện  có hai mặt  và  là hai tam giác cân có chung đáy . Điểm  là trung điểm của cạnh .

a) Chứng minh .

b) Gọi  là đường cao trong tam giác . Chứng minh rằng .

Bài 2. Cho hình chóp  có đáy là hình vuông cạnh . Gọi  và  lần lượt là hình chiếu của điểm  trên các đường thẳng  và .

a) Chứng minh rằng .

b) Chứng minh rằng .

c) Chứng minh rằng  và .

d) Gọi  là giao điểm của  với mặt phẳng . Chứng minh rằng tứ giác  có hai đường chéo vuông góc.

Bài 3. Cho hình chóp  có , các tam giác  và  là các tam giác nhọn. Gọi  và  lần lượt là trực tâm của các tam giác  và . Chứng minh rằng:

a)  dồng quy.

b) .

c) .

Bài 4. Cho hình chóp  có đáy là hình vuông cạnh . Mặt bên  là tam giác đều,  là tam giác vuông cân đỉnh . Gọi  lần lượt là trung điểm của  và .

a) Tính các cạnh của tam giác , suy ra tam giác  vuông.

b) Chứng minh rằng .

c) Gọi  là hình chiếu của  lên , chứng minh rằng .

DẠNG 1:

Bài 1.

a) Do các tam giác  và  là hai tam giác cân nên tại  và  ta có:  (trong tam giác cân đường trung tuyến đồng thời là đường cao).

Do đó .

b) Do  là đường cao trong tam giác  nên .

Mặt khác .

Do đó .

Bài 2.

a) Do .

Mặt khác  là hình vuông nên .

Khi đó .

Tương tự chứng minh trên ta có: .

b) Do .

Mặt khác

Tương tự ta có: .

c) Do .

Hai tam giác vuông  và  bằng nhau có các đường cao tương ứng là  và  nên .

Mặt khác tam giác  cân tại đỉnh  nên .

d) Do  là hình vuông nên , mặt khác .

Do

Bài 3.

a) Giả sử  tại .

Ta có:

Mặt khác  thẳng hàng do đó  đồng quy tại điểm .

b) Do  là trực tâm tam giác  nên  Mặt khác .

Lại có: .

c) Do , mặt khác

Do đó .

Bài 4.

a) Ta có:  đều cạnh  nên

Tứ giác  là hình chữ nhật nên .

 là tam giác vuông cân đỉnh .

Do đó  vuông tại .

b) Do  cân tại  nên

Do .

Mặt khác .

Chứng minh tương tự ta có: . c) Do

Mặt khác .

Do .

PHIẾU BÀI TẬP SỐ 2

DẠNG 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách sử dụng tính chất đường thẳng vuông góc mặt phẳng

Phương pháp giải:

Muốn chứng minh đường thẳng  vuông góc với đường thẳng , ta đi tìm mặt phẳng  chứa đường thẳng  sao cho việc chứng minh  dễ thực hiện.

Bài 1. Cho tứ diện đều . Chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc với nhau từng đôi một.

Bài 2. Hình chóp  có cạnh  vuông góc với mặt phẳng  và đáy  là hình thang vuông tại  và  với .

a) Gọi  là trung điểm của đoạn , chứng minh  và .

b) Chứng minh các mặt bên của hình chóp  là các tam giác vuông.

Bài 3. Cho hình lăng trụ  có đáy  là tam giác đều cạnh . Cạnh bên  vuông góc với đáy và .

a) Gọi  là trung điểm của . Chứng minh .

b) Gọi  là trung điểm của . Chứng minh .

c) Gọi  là điểm trên đoạn  sao cho  và  là trung điểm của . Chứng minh rằng:  và