Giải sbt toán 6 tập 2: bài tập 101 trang 29

Gọi phân số dương là \({a \over b}\) với $a > 0, b > 0$.

Không mất tính tổng quát giả sử $0 < a \le b.$

Đặt $b = a + m (m \in \mathbb{Z}, m \ge 0)$

Số nghịch đảo của \({a \over b}\) là \({b \over a}\) ta có:

\({a \over b} + {b \over a} = {a \over {a + m}} + {{a + m} \over a} \)

\(= {a \over {a + m}} + {m \over a} + {a \over a} \)

\(= {a \over {a + m}} + {m \over a} + 1\,\,\,(1)\)

Ta có: \({m \over {a}} \ge {m \over {a + m}}\) (dấu bằng xảy ra khi $m = 0$)

\(\Rightarrow {a \over {a + m}} + {m \over a} \ge {a \over {a + m}} + {m \over {a + m}} \)

\(= {{a + m} \over {a + m}} = 1\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow {a \over b} + {b \over a} \ge 1 + 1 = 2\), dấu bằng xảy ra khi $m = 0$ hay $a = b.$