Giải bài tập 6.23 trang 18 SBT toán 10 tập 2 kết nối

Xét $x^{2} – 2(m – 1)x + 4m^{2} – m = 0 $có:

a = 1 > 0

$∆’ = [–(m – 1)]^{2} – 1\times (4m^{2} – m) = m^{2}– 2m + 1 – 4m^{2}+ m = –3m^{2} – m + 1 .$

a) Để phương trình $x^{2}– 2(m – 1)x + 4m^{2}– m = 0$ có hai nghiệm phân biệt

<=> ∆’ > 0

<=> $ –3m^{2} – m + 1 > 0$

Xét phương trình bậc hai $–3m^{2}– m + 1 = 0 $có a = –3 < 0 và $∆_{ma} = (–1)^{2} – 4\times (–3)\times 1 = 13 > 0$

Do đó, phương trình $–3m^{2} – m + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt là:

$m1=\frac{-1+\sqrt{13}}{6};m2=\frac{-1-\sqrt{13}}{6}$

Do đó, $–3m^{2} – m + 1 > 0 $<=>$\frac{-1-\sqrt{13}}{6}<m<\frac{-1-\sqrt{13}}{6}$

Vậy khi $\frac{-1-\sqrt{13}}{6}<m\frac{-1+\sqrt{13}}{6}$ thì phương trình $x^{2} – 2(m – 1)x + 4m^{2} – m = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

b) Để phương trình $x^{2} – 2(m – 1)x + 4m^{2} – m = 0 $ có hai nghiệm trái dấu

⇔ ac < 0

⇔ $1\times (4m^{2} – m ) < 0$

⇔ 4m2 – m < 0

Xét phương trình bậc hai $4m^{2} – m = 0$ có a = 4 > 0 và $∆_{mb} = (–1)^{2} – 4\times 4\times 0 = 1 > 0$

Do đó, phương trình bậc hai $4m^{2} – m = 0$ có hai nghiệm phân biệt là:

$m1=0;m2=\frac{1}{4}$

Do đó, $4m^{2} – m < 0 ⇔ 0<m<\frac{1}{4}$

Vậy khi $0<m<\frac{1}{4}$ thì phương trình $x^{2}– 2(m – 1)x + 4m^{2} – m = 0$ có hai nghiệm trái dấu.