Giải Bài tập 35 trang 109 sgk Toán 11 tập 2 Kết nối

Bài tập 35 trang 109 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD = a, AB = a \sqrt{2}. Biết SAL \perp (ABCD)SA= a \sqrt{3}. Gọi M là trung điểm của cạnh CD.

a) Chứng minh rằng BD \perp (SAM).

b) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABMD.


a) Để chứng minh BD \perp (SAM), ta cần chứng minh rằng đường thẳng BD và mặt phẳng (SAM) là vuông góc với nhau.

ABCD là hình chữ nhật, ta có AD \parallel BCAB \parallel CD. Do đó, AB \parallel (SAM).

Gọi O là giao điểm của các đường thẳng BDAC.

Ta cần chứng minh rằng AO \perp BD.

SA \perp (ABCD), ta có SA \perp AC. Vì AB \parallel (SAM), ta cũng có AB \perp AC. Do đó, A là giao điểm của SAAB, nên AO \perp BD.

Vậy, ta đã chứng minh được BD \perp (SAM).

b) Để tính thể tích khối chóp S.ABMD, ta sử dụng công thức thể tích khối chóp:

V_{S.ABMD} = \frac{1}{3} \times \text{diện tích đáy} \times \text{chiều cao}.

Đáy của chóp S.ABMD là hình chữ nhật ABCD.

Diện tích hình chữ nhật ABCDS_{ABCD} = AB \times AD = a \sqrt{2} \times a = a^2 \sqrt{2}.

Chiều cao của chóp S.ABMD là độ dài đường thẳng SM.

M là trung điểm của CD, ta có CM = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} a.

Do đó, ta có SM = SA - AM = a \sqrt{3} - CM = a \sqrt{3} - \frac{1}{2} a = \frac{2 \sqrt{3} - 1}{2} a.

Thay các giá trị vào công thức, ta có:

V_{S.ABMD} = \frac{1}{3} \times a^2 \sqrt{2} \times \frac{2 \sqrt{3} - 1}{2} a = \frac{a^3}{3} (\sqrt{6} - \frac{\sqrt{2}}{2}).

Vậy, thể tích khối chóp S.ABMD\frac{a^3}{3} (\sqrt{6} - \frac{\sqrt{2}}{2}).


Bình luận

Giải bài tập những môn khác