Giải Bài tập 33 trang 109 sgk Toán 11 tập 2 Kết nối

a) Để chứng minh rằng MN // HK, ta có thể sử dụng định lí Thales.

Ta có $\frac{AH}{HB} = \frac{AA'}{BB'} = \frac{\sqrt{2}}{1}$ và $\frac{AK}{KC} = \frac{AA'}{CC'}=\frac{\sqrt{2}}{1}$

$\Rightarrow \frac{AH}{HB}=\frac{AK}{KC} $ và MN // HK$

b) Để tính thể tích khối chóp A’.AHK, ta có thể sử dụng công thức

$V_{A'.AHK} =\frac{1}{3} S_{A'HK}.AH $

Diện tích tam giác $AHK$ có thể tính bằng công thức:

$S_{AHK} = \frac{1}{2} \times AH \times HK$.

Ta cần tính độ dài cạnh $AH$. Vì $AA' = a \sqrt{2}$ và $A'M \parallel A'H$, ta có:

$\frac{AH}{AA'} = \frac{HM}{A'M}$.

Vì $HM$ là đường trung bình của tam giác $BB'$, nên $HM = \frac{BB'}{2} = \frac{a}{2}$. Vì $A'M$ là đường trung bình của tam giác $BB'$, nên $A'M = \frac{BB'}{2} = \frac{a}{2}$.

Thay các giá trị vào, ta có:

$\frac{AH}{a \sqrt{2}} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{2}} = 1$.

Suy ra, $AH = a \sqrt{2}$.

Thay các giá trị vào công thức, ta có:

$S_{AHK} = \frac{1}{2} \times a \sqrt{2} \times \frac{a}{2} = \frac{a^2 \sqrt{2}}{4}$.

Chiều cao của chóp $A'.AHK$ là độ dài đường thẳng $A'A$, nên $h_{A'.AHK} = AA' = a \sqrt{2}$.

Thay các giá trị vào công thức, ta có:

$V_{A'.AHK} = \frac{1}{3} \times \frac{a^2 \sqrt{2}}{4} \times a \sqrt{2} = \frac{a^3}{6}$.