I. ĐỊNH NGHĨA

HĐ1:

a. Ba cách chọn cặp đấu sẽ là:

+ Cách 1: Chọn Mạnh và Phong

+ Cách 2: Chọn Cường và Tiến

+ Cách 3: Chọn Phong và Cường

b. Mỗi cặp đấu gồm có 2 người nên mỗi cặp đấu là một tập con gồm 2 phần tử được lấy ra từ tập hợp gồm 4 bạn nói trên.

Kết luận: 

Cho tập hợp $A$ gồm $n$ phần tử và một số nguyên $k$ với $1 \leq k \leq n.$

Mỗi tập con gồm $k$ phần tử được lấy tử n phần tử của $A$ được gọi là một tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử đó. 

Ví dụ 1 (SGK – tr15) 

Luyện tập 1:

Tất cả các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử a, b, c là các tập con gồm 2 phần tử được lấy ra từ tập hợp gồm 3 phần tử a, b, c là: $\left \{ a;b \right \}, \left \{ a;c \right \}, \left \{ b;c \right \}$ 

II. SỐ CÁC TỔ HỢP

HĐ2:

1. Cách lấy ra một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử trong A là: Chọn bất kỳ 3 trong 5 phần tử thuộc A ví dụ như $\left \{ a,b,c \right \}$
2. Cách lấy ra một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử trong A là: Chọn bất kỳ 3 trong 5 phần tử thuộc A rồi sắp xếp theo một thứ tự nào ví dụ như ta chọn 3 phần tử a, b, c rồi sắp xếp theo thứ tự ngược của bảng chữ cái $\left \{ c,b,a \right \}$
3. So sánh: Mỗi tổ hợp chập 3 của 5 phần tử sinh ra 3! chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử vì có 3! hoán vị của 3 phần tử. Vì thế, số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử nhiều gấp 3! lần số tổ hợp chập 3 của 5 phần tử.  

Nhận xét: Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử nhiều gấp $k!$ lần số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử đó. 

Kết luận:

Kí hiệu: $C_n^k$ là số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử với $1 \leq k \leq n$. Ta có: $C_n^k= \frac{A_n^k}{k!}$

Ví dụ 2 (SGK – tr16) 

Quy ước: $0! = 1; C_n^0 = 1.$

Kết luận: 

Với những quy ước trên, ta có công thức sau: $C_n^k= \frac{n!}{k!(n-k)!}$ với $0 ≤k ≤ n$

Ví dụ 3 (SGK – tr16)

Luyện tập 2: 

Mỗi cách chọn 3 bạn nam trong 10 bạn nam là một tổ hợp chập 3 của 10 phần tử.

Do đó có $C_{10}^3 = 120$ cách chọn.

HĐ3 (SGK – tr17)

Luyện tập 3: 

III. TÍNH CHẤT CỦA CÁC SỐ $C_n^k$

HĐ4:

a. Sử dụng máy tính cầm tay, ta có:

$C_6^2= 15; C_6^4= 15 ⟹ C_6^2= C_6^4$

b. Sử dụng máy tính cầm tay, ta có: 

$C_4^2+ C_4^3= 6+4=10; C_5^3= 10 => C_4^2+ C_4^3= C_5^3$

Kết luận:

Một cách tổng quát, ta có hai đẳng thức sau:

$C_n^k= C_n^{n-k} (0≤ k ≤ n)$

và $C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k = C_n^k (1 \leq k \leq n)$