1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Câu 1: Thực hiện các phép nhân đơn thức sau:

a) $(4x^{3}).(-6x^{3}y)$

b) $(-2y).(-5xy^{2})$

c) $(-2z)^{3}.(2ab)^{2}$

Giải: 

 a) $(4x^{3}).(-6x^{3}y)=\left [ 4.(-6) \right ].(x^{3}.x^{3}).y=-24x^{6}y$

b) $(-2y).(-5xy^{2})=\left [ (-2).(-5) \right ].(y.y^{2}).x=10xy^{3}$

c) $(-2z)^{3}.(2ab)^{2}=\left [ (-2)^{3}.2^{2} \right ].a^{3}.a^{2}.b^{2}=-32a^{5}b^{2}$

Câu 2: Thực hiện phép tính:

a) $(-5a^{4})(a^{2}b-ab^{2})$

b) $(x+2y)(xy^{2}-2y^{3})$

c) $\left ( -\frac{1}{2}xy \right )(8x^{2}-5xy+2y^{2})$

Giải:

a) $(-5a^{4})(a^{2}b-ab^{2})=-5a^{6}b+5a^{5}b^{2}$

b) $(x+2y)(xy^{2}-2y^{3})=x^{2}y^{2}-2xy^{3}+2y^{3}-4y^{4}$

c) $\left ( -\frac{1}{2}xy \right )(8x^{2}-5xy+2y^{2})=(-\frac{1}{2}xy.8x^{2})-(-\frac{1}{2}xy).5xy+(-\frac{1}{2}xy).2y^{2}$

$=(-\frac{1}{2}.8)xy.x^{2}+(-\frac{1}{2}.5)xy.xy+(-\frac{1}{2}).2xy.y^{2}=4x^{3}+\frac{5}{2}x^{2}y^{2}-xy^{3}$

Câu 3. Thực hiện phép nhân.

a) $3x(2xy-5x^{2}y)$

b) $2x^{2}y(xy-4xy^{2}+7y)$

c) $\left ( -\frac{2}{3}xy^{2}+6yz^{2} \right )\left ( -\frac{1}{2} xy\right )$

Giải:

a) $3x(2xy-5x^{2}y)=6x^{2}y-15x^{3}y$

b) $2x^{2}y(xy-4xy^{2}+7y)=2x^{3}y^{2}-8x^{3}y^{3}+14x^{2}y^{2}$

c) $\left ( -\frac{2}{3}xy^{2}+6yz^{2} \right )\left ( -\frac{1}{2} xy\right )=\frac{1}{3}x^{2}y^{3}-3xy^{2}z^{2}$

Câu 4: Thực hiện phép tính: 

a) $(-xy)(-2x^{2}y+3xy-7x)$

b) $(\frac{1}{6}x^{2}y^{2})(-0,3x^{2}y-0,4xy+1)$

c) $(x+y)(x^{2}+2xy+y^{2})$

d) $(x-y)(x^{2}-2xy+y^{2})$

Giải:

a) $(-xy)(-2x^{2}y+3xy-7x)$

$=(-1)(-2).(xy.x^{2}y+(-1).3.xy.xy+(-1)(-7).xy.x$

$=2.x^{2}+1y^{2}-3.x^{2}y^{2}+7.x^{2}y=2x^{3}y^{2}-3.x^{2}y^{2}+7.x^{2}y$

b) $(\frac{1}{6}x^{2}y^{2})(-0,3x^{2}y-0,4xy+1)$

$=\frac{1}{6}.(-0,3).x^{2}.x^{2}.y^{2}.y-\left ( \frac{1}{6}.0,4 \right ).x^{2}.x.y^{2}.y+\frac{1}{6}.x^{2}.y^{2}$

$=(-0,005)x^{4}.y^{3}-\frac{0,4}{6}.x^{3}.y^{3}+\frac{1}{6}.x^{2}.y^{2}$

c) $(x+y)(x^{2}+2xy+y^{2})$

$=x.x^{2}+1.2.x.x.y+x.y^{2}+y.x^{2}+1.2.x.y.y+y.y^{2}$

$=x^{3}+2.x^{2}y+x.y^{2}+y.x^{2}+2.x.y^{2}+y^{3}=x^{3}+3.x^{2}.y+3x.y^{2}+y^{3}$

d) $(x-y)(x^{2}-2xy+y^{2})$

$=x.x^{2}-1.2.x.x.y+x.y^{2}-y.x^{2}+(-1)(-2).y.x.y-y.y^{2}$

$=x^{3}-2.x^{2}.y+x.y^{2}-y.x^{2}+2.x.y^{2}-y^{3}$

$=x^{3}-3.x^{2}.y+3x.y^{2}-y^{3}$

Câu 5: Rút gọn biểu thức.

a) $(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})$

b) $(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$

c) $(4x-1)(6y+1)-3x(8y+\frac{4}{3})$

Giải:

a) $(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})$

$=x.x^{2}+x.x.y+x.y^{2}-y.x^{2}-x.y^{2}-y^{3}$

$=x^{3}+x^{2}.y+x.y^{2}-y.x^{2}-x.y^{2}-y^{3}$

$=x^{3}-y^{3}$

 b) $(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$

$=x.x^{2}-x.xy+x.y^{2}+y.x^{2}-y.xy+y.y^{2}$

$=x^{2}+1-x^{2}y+x.y^{2}+y.x^{2}-xy^{2}+y^{2}+1$

$=x^{3}+y^{3}$

c) $(4x-1)(6y+1)-3x(8y+\frac{4}{3})$

 $=(4.6.x.y+4x-1)-3.8.x.y-3.\left ( \frac{4}{3}x \right )$

$=24xy+4x-1-24xy-4x=-1$

Câu 6. Thực hiện phép tính:

a) $2x(3x^{2}-4x+2)$

b) $2x(3x+5)-3(2x^{2}-2x+3)$

c) $(2x+1)(3x^{2}-x+2)$

Giải:

a) $2x(3x^{2}-4x+2)$

$=2x.3x^{2}-2x.4x+2x.2$

$=6x^{3}-8x^{2}+4x$

b) $2x(3x+5)-3(2x^{2}-2x+3)$

$=2x.3x+2x.5-3.2x^{2}+3.2x-3.3$

$=6x^{2}+10x-6x^{2}+6x-9$

$=16x-9$

c) $(2x+1)(3x^{2}-x+2)$

$=2x.3x^{2}-2x.x+2x.2+1.3x^{2}-1.x+1.2$

 $=6x^{3}+x^{2}+3x+2$

 2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Câu 1. Tính giá trị của biểu thức:

a) $3x^{2}y-(3xy-6x^{2}y)+(5xy-9x^{2}y)$ tại $x=\frac{2}{3};y=\frac{-3}{4}$

b) $x(x-2y)-y(y^{2}-2x)$ tại x = 5, y = 3

Giải:

a) $3x^{2}y-(3xy-6x^{2}y)+(5xy-9x^{2}y)$

$=3x^{2}y-3xy+6x^{2}y+5xy-9x^{2}y=2xy$

Thay $x=\frac{2}{3};y=\frac{-3}{4}$ vào biểu thức ta có: 

$2.\frac{2}{3}.\left ( \frac{-3}{4} \right )=-1$

b) $x(x-2y)-y(y^{2}-2x)$

$=x^{2}-2xy-y^{3}+2xy$

$=x^{2}-y^{3}$

Thay x = 5, y = 3 vào biểu thức ta có: $5^{2}-3^{3}=-2$

 Câu 2. 

a) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức.

$P=(5x^{2}-2xy+y^{2})-(x^{2}+y^{2})-(4x^{2}-5xy+1)$ khi x=1,2 và x+y=6,2

b) Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

$(x^{2}-5x+4)(2x+3)-(2x^{2}-x-10)(x-3)$

Giải:

a) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức.

$P=(5x^{2}-2xy+y^{2})-(x^{2}+y^{2})-(4x^{2}-5xy+1)$

$=5x^{2}-2xy+y^{2}-x^{2}-y^{2}-4x^{2}+5xy-1$

$=(5x^{2}-x^{2}-4x^{2})-(2xy-5xy)+(y^{2}-y^{2})-1$

$=0+3xy-1=3xy$

Khi x=1,2 và x+y=6,2 => y=6,2-1,2=5

Vậy giá trị của P=3.1,2.5=18

b) Ta có:

$(x^{2}-5x+4)(2x+3)-(2x^{2}-x-10)(x-3)$

$=x^{2}.2x+x^{2}.3-5.2.x.x-5x.3+4.2x+4.3-(2x^{2}.x-2.(-3).x^{2}-x.x+3x-10x+10.3)$

$=2x^{2}+1+3x^{2}-10x^{2}-15x+8x+12-2x^{2}+1+6.x^{2}+x^{2}-3x+10x-30$

$=(2x^{3}-2x^{3})+(3x^{2}+6.x^{2}+x^{2}-10x^{2})-(15x-8x+3x-10x)-30+12=-18$

Như vậy giá trị của biểu thức luôn là 18 và không phụ thuộc vào giá trị của biến x

Câu 3: 

a) Chứng minh rằng biểu thức $P=5x(2-x)-(x+1)(x+9)$ luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x.

b) Chứng minh rằng biểu thức $Q=3x^{2}+x(x-4y)-2x(6-2y)+12x+1$ luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến x và y.

Giải:

a. Ta có:

$P=5x(2-x)-(x+1)(x+9)$

$=5.2.x-5.x.x-(x.x+x.9+1.x+1.9)$

$=10x-5x^{2}-x^{2}-9x-x-9$ 

$=-6x^{2}-9$

Vì $x^{2}\geq 0\Rightarrow -6x^{2}\leq 0\Rightarrow -6x^{2}-9\leq 0$

Vậy P luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x.

b.Ta có: 

 $Q=3x^{2}+x(x-4y)-2x(6-2y)+12x+1$

$=3x^{2}+x.x-4.x.y-2.6.x+2.2.x.y+12x+1$

$=3x^{2}+x^{2}-4xy-12x+4xy+12x+1$

$=4x^{2}+1$

Vì $x^{2}\geq 0\Rightarrow 4x^{2}\geq 0\Rightarrow 4x^{2}+1\geq 1$

Vậy Q luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến x và y.

 Câu 4: Tính giá trị biểu thức: $A=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})+2y^{3}$ tại $x=\frac{2}{3}$ và $y=\frac{1}{3}$

Giải:

$A=(x-y)(x^{2}+xy+y^{2})+2y^{3}=x^{3}+y^{3}$

Tại $x=\frac{2}{3}$ và $y=\frac{1}{3}$ biểu thức A có giá trị là $A=\frac{1}{3}$

Câu 5: Tính giá trị của biểu thức $A=x^{2}-6xy+9y^{2}-15$ tại x = 37; y = - 1.

Giải:

Tính giá trị của biểu thức $A=x^{2}-6xy+9y^{2}-15$  tại x = 37; y = - 1.

Ta có $A=x^{2}-6xy+9y^{2}-15=x^{2}-2.x.3y+(3y)^{2}-15=(x-3y)^{2}-15$

Thay x = 37; y = - 1 vào biểu thức $A=(x-3y)^{2}-15$ ta có

$A=(37-3.(-1))^{2}-15=(37+3)^{2}-15=40^{2}-15=1600-15=1585$

 Vậy giá trị của biểu thức $A=x^{2}-6xy+9y^{2}-15$ tại x = 37; y = - 1 là 1585.

3. VẬN DỤNG (5 câu)

Câu 1: Trên một dòng sông, để đi được 10 km, một chiếc xuồng tiêu tốn a lít dầu khi xuôi dòng và tiêu tốn (a + 2) lít dầu khi ngược dòng. Viết biểu thức biểu thị số lít dầu mà xuồng tiêu tốn để đi từ bến A ngược dòng đến bến B, rồi quay lại bến A. Biết khoảng cách giữa hai bến là b km.

Giải:

Để đi được 1 km khi ngược dòng tốn $\frac{1}{10}(a+2)$ lít dầu và khi xuôi dòng tốn a10

Ta có: Biểu thức biểu thị số lít dầu mà xuồng tiêu tốn để đi từ bến A ngược dòng đến bến B, rồi quay lại bến A là:

 $\left [ \frac{1}{10}(a+2) \right ]b+\left ( \frac{a}{10} \right )b=\frac{ab}{10}+\frac{2b}{10}+\frac{ab}{10}=\frac{ab}{5}+\frac{b}{5}$ (lít dầu)

Câu 2. Trên một đoạn sông thẳng, xuất phát cùng lúc từ một bến thuyền, thuyền đi xuôi dòng với tốc độ (v+3) km/h, ca nô đi ngược dòng với tốc độ (2v-3) km/h.

Tìm được quãng đường của mỗi phương tiện và viết biểu thức tính khoảng cách giữa chúng sau khoảng thời gian t giờ kể từ khi rời bến?

Giải:

Quãng đường thuyền đi được sau t giờ: (v+3)t = vt + 3t (km)

Quãng đường ca nô đi được sau t giờ: (2v-3)t = 2vt - 3t (km)

Khoảng cách hai phương tiện sau t giờ: vt +3t + 2vt - 3t = 3vt (km)

Câu 3. Tính diện tích phần tô màu trong hình sau:

Giải:

Diện tích phần tô màu: 

 $5y(2x+3y)-x(x+y)=10xy+15y^{2}-x^{2}-xy=15y^{2}-x^{2}+9xy$

Câu 4. Bạn Hạnh dự định cắt một miếng bìa có dạng tam giác vuông với độ dài hai cạnh góc vuông lân lượt là 6 (cm), 8 (cm). Sau khi xem xét lại, bạn Hạnh quyết định tăng độ dài cạnh góc vuông 6 (cm) thêm x (cm) và tăng độ dài cạnh góc vuông 8 (cm) thêm y (cm) (Hình 3). Viết đa thức biểu thị diện tích phần tăng thêm của miếng bìa theo x và y.

Giải:

Diện tích của miếng bìa theo dự định lúc đầu là: 

$S_{1}=\frac{1}{2}.6.8=24 (cm^{2})$

Diện tích của miếng bìa sau khi tăng thêm các cạnh góc vuông là: 

$S_{2}=12.(6+x).(8+y)=\frac{1}{2}.6.8+\frac{1}{2}.6.y+\frac{1}{2}.8.x+\frac{1}{2}.x.y=24+3y+4x+\frac{1}{2}xy(cm^{2})$

Vậy phần diện tích tăng thêm sẽ là:  $3y+4x+\frac{1}{2}xy(cm^{2})$

Câu 5. Khu vườn của nhà bác Xuân có dạng hình vuông. Bác Xuân muốn dành một mảnh đất có dạng hình chữ nhật ở góc khu vườn để trồng rau (Hình 4). Biết diện tích của mảnh đất không trồng rau bằng 475 m2. Tính độ dài cạnh x(m) của khu vườn đó.

Giải:

Diện tích của khu vườn là: $x^{2}(m^{2})$

Diện tích của khu đất trồng rau là: $(x-10)(x-15)(m^{2})$

Diện tích khu đất không trồng rau sẽ là: $x^{2}-(x-10)(x-15)$

Theo đề bài thì  $x^{2}-(x-10)(x-15)=475$

$\Leftrightarrow x^{2}-(x.x-15x-10x+10.15)=475$

$\Leftrightarrow x^{2}-x^{2}+15x+10x-150=475$

$\Leftrightarrow 25x-150=475$

$\Leftrightarrow 25x=625$

$\Leftrightarrow x=25$

Vậy độ dài cạnh của khu vườn là 25m.

4. VẬN DỤNG CAO (3 câu)

Câu 1: Cho $f(x)=a.x^{3}+4x.(x^{2}-1)+8$ và $g(x)=x^{3}+4x.(bx+1)+c-3$. 

Trong đó a, b, c là các hằng số. Xác định a, b, c để $f(x)=g(x)$

Giải:

Ta có: $f(x)=a.x^{3}+4x.(x^{2}-1)+8=a.x^{3}+4x^{3}-4x+8=(a+4).x^{3}-4x+8$

Và $g(x)=x^{3}+4x.(bx+1)+c-3=x^{3}-4bx^{2}-4x+c-3$

Do $f(x)=g(x)$ nên ta có:

$\left\{\begin{matrix}a+4=1 &  & \\ -4b=0 &  & \\  c-3= 8 &  & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}a=-3 &  & \\ b=0 &  & \\ c=11&  & \end{matrix}\right.$

Câu 2. Tìm các hệ số a, b, c thỏa mãn  $3x^{2}.(ax^{2}-2bx+5c)=9x^{4}+2x^{3}-10x^{2}$ với mọi x 

Giải:

Có:

$3x^{2}.(ax^{2}-2bx+5c)=9x^{4}+2x^{3}-10x^{2}$ với mọi x

$\Leftrightarrow 3ax^{4}-6bx^{3}+15cx^{2}=9x^{4}+2x^{3}-10x^{2}$ với mọi x

 $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3a=9 &  & \\ -6b=2&  & \\15c=-10&  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=3&  & \\ b=\frac{-1}{3}&  & \\ c=\frac{-2}{3}&  &\end{matrix}\right.$

Câu 3: Cho $A=x^{2}-4x+5;B=x;C=2x^{3}+4x^{2}+18$

a) Tính D = 2AB – C

b) Tính giá trị của D biết $\left | x+7 \right |=3$

Giải:

a) D = 2AB – C

$2x.(x^{2}-4x+5)-(2x^{3}+4x^{2}+18)$

$=2x^{3}-8x^{2}+10x-2x^{3}-4x^{2}-18$

$=-12x^{2}+10x-18$

b) $\left | x+7 \right |=3$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+7=3 &  & \\ x+7=-3 &  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=-4 &  & \\x= -10 &  & \end{matrix}\right.$

Với x = -4 thì $D=-12.(-4)^{2}+10.(-4)-18=-250$

Với x = -10 thì $D=-12.(-10)^{2}+10.(-10)-18=-1318$