Slide bài giảng Toán 12 chân trời Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Tóm lược nội dung

BÀI 4: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ MỘT SỐ HÀM SỐ CƠ BẢN

1. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Giải hoạt động 1 trang 25 toán 12 tập 1 ctst

Cho hàm số

1. Lập bảng biến thiên: 
2. Vẽ đồ thị của hàm số. 

Trả lời rút gọn:

1. Tập xác định: D =

Bảng biến thiên: 

b)

2. KHẢO SÁT HÀM SỐ

Giải thực hành 1 trang 28 toán 12 tập 1 ctst

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 

1.                       b)

Trả lời rút gọn:

a)

1. Tập xác định: D =
2. Sự biến thiên: 

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm:

Trên các khoảng (-∞;-1) và (0; +∞), nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Trên khoảng (0;2),  nên hàm số đồng biến trên khoảng đó. 

• Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại

Hàm số đạt cực tiểu tại

• Các giới hạn tại vô cực: 

• Bảng biến thiên: 

1. Đồ thị: 

Khi thì  là giao điểm của đồ thị với trục Oy. 

Ta có:  

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục 0x tại hai điểm (-1; 0) và .

Điểm (-1;0) là điểm cực tiểu và điểm (0; 1) là điểm cực đại của đồ thị hàm số. Đồ thị có tâm đối xứng là điểm

b) 

1. Tập xác định: D =
2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm:

Trên tâp xác định D =   nên hàm số đồng biến trên tập xác định.

• Cực trị:

Hàm số không có cực trị. 

• Các giới hạn tại vô cực: 

• Bảng biến thiên: 

1. Đồ thị: 

Khi thì  là giao điểm của đồ thị với trục Oy. 

Ta có:  

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục 0x tại điểm (-2; 0).

Đồ thị có tâm đối xứng là điểm

3. KHẢO SÁT HÀM SỐ

Giải thực hành 2 trang 30 toán 12 tập 1 ctst

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 

a) ;                     b) ;                   c)   

Trả lời rút gọn:

a) 

1. Tập xác định: D =
2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm . Vì  nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng

• Tiệm cận:

Ta có:  ;. 

Suy ra đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị.

Ta có:

Suy đường thẳng y = 1  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

1. Đồ thị: 

Đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (-1;0), giao với trục Oy tại điểm (0; -1).

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = 1.

b) 

1. Tập xác định: D =
2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm . Vì  nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng

• Tiệm cận:

Ta có:  ;. 

Suy ra đường thẳng x =  là đường tiệm cận đứng của đồ thị.

Ta có:

Suy đường thẳng y =   là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

1. Đồ thị: 

Đồ thị của hàm số đi qua gốc tọa độ O(0;0).

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x =  và y =  .

c) 

1. Tập xác định: D =
2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm . Vì  nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

• Tiệm cận:

Ta có:  ;. 

Suy ra đường thẳng x = 2  là đường tiệm cận đứng của đồ thị.

Ta có:

Suy đường thẳng y = -1  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

1. Đồ thị: 

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 2 và y = -1.

4. KHẢO SÁT HÀM SỐ đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu)

Giải thực hành 3 trang 32 toán 12 tập 1 ctst

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 

a) ;                  b)             c) .

Trả lời rút gọn:

1. 
2. Tập xác định: D =
3. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm . Vì  nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng

• Các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:

Ta có:

Suy ra đường thẳng  là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có:  ;.

Suy đường thẳng  hay trục tung là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

1. Đồ thị: 

Ta có:

Đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (-1;0) và (1;0)

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm  trùng với gốc tọa độ O.

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 0 và y = x .

1. Tập xác định: D =
2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm

Trên các khoảng  và ,  nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó. 

Trên các khoảng  và ,  nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. 

• Cực trị: 

Hàm số đạt cực tiểu tại

Hàm số đạt cực đại tạo

• Các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:

Ta có:

Suy ra đường thẳng  là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có:  ;.

Suy đường thẳng  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

1. Đồ thị: 

Ta có:

Đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm  và

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = -1 và y = - x+1 .

c) 

1. Tập xác định: D =
2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm . Vì  nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng

• Các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:

Ta có:

Suy ra đường thẳng  là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có:  ;.

Suy đường thẳng  hay trục tung là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

1. Đồ thị: 

Ta có:

Đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (-2;0) và (1;0)

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = -1 và y = - x .

5. VẬN DỤNG ĐẠO HÀM VÀ KHẢO SÁT HÀM SỐ ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TIỄN

Giải thực hành 4 trang 35 toán 12 tập 1 ctst

Xét một vật thật đặt đăth trước thấu kính hội tụ có tiêu cự . Gọi d là khoảng cách từ vật đến thấu kính ,  là khoảng cách từ thấu kính đến ảnh (ảnh thật thì , ảnh ảo thì ). Ta có công thức: 

(Vật lí 11, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2012, trang 182,187)

Xét trường hợp , đặt . Ta có hàm số .

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số trên.

b) Dựa vào đồ thị hàm số trên, hãy cho biết vị trí của vật để ảnh của vật là: ảnh thật, ảnh ảo.

c) Khi vật tiến gần đến tiêu điểm thì ảnh thay đổi như thế nào? 

Trả lời rút gọn:

a) 

1. Tập xác định: D =
2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm . Vì  nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng

• Tiệm cận:

Ta có:  ;. 

Suy ra đường thẳng x = 3 là đường tiệm cận đứng của đồ thị.

Ta có:  

Suy đường thẳng y = 3  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

1. Đồ thị: 

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 3 và y = 3.

b) Dựa vào đồ thị hàm số ta nhận thấy:

- Khi x Î (3; +∞) thì .

- Khi x Î (0;3) thì . 

Vậy khi khoảng cách từ vật đến thấu kính d Î (3; +∞) thì ta thu được ảnh thật; d Î (0;3) thì ta thu được ảnh ảo. 

c) 

Giải thực hành 5 trang 35 toán 12 tập 1 ctst

Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp chữ nhật có thể tích 500 cm³ với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất. Chiều cao hộp phải là 2cm, các kích thước khác là . 

a) Hãy biểu thị theo

b) Chứng tỏ rằng diện tích toàn phần của chiếc hộp là: 

.

c) Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng .

d) Kích thước của hộp là bao nhiêu thì dùng ít vật liệu nhất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)

Trả lời rút gọn:

a) Ta có thể tích

b) Ta có diện tích toàn phần:

c) Tập xác định: D = .

  (loại). 

Bảng biến thiên:

1. Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = .

Suy ra, để dùng ít vật liệu nhất, kích thước của hộp là: x = ,

6. GIẢI BÀI TẬP CUỐI SÁCH GIÁO KHOA

Giải bài 1 trang 36 toán 12 tập 1 ctst

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Trả lời rút gọn:

a) 

1. Tập xác định: D =
2. Sự biến thiên: 

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm:

Trên các khoảng (-∞;0) và (0; +∞), nên hàm số đồng biến biến trên mỗi khoảng đó.

• Cực trị:

Hàm số không có cực trị. 

• Các giới hạn tại vô cực: 

• Bảng biến thiên: 

1. Đồ thị: 

Khi thì  là giao điểm của đồ thị với trục Oy. 

Ta có:  

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục 0x tại điểm (1; 0).

Đồ thị có tâm đối xứng là điểm .

 b) 

1. Tập xác định: D =

2. Sự biến thiên: 

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm:

Trên các khoảng nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng ,  nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. 

• Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại

Hàm số đạt cực tiểu tại

• Các giới hạn tại vô cực: 

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị: 

Khi thì  là giao điểm của đồ thị với trục Oy. 

Ta có:  

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục 0x tại điểm (1,06; 0).

Đồ thị có tâm đối xứng là điểm .

Giải bài 2 trang 36 toán 12 tập 1 ctst

Cho hàm số

a) Tìm điểm I thuộc  đồ thị hàm số biết hoành độ của I là nghiệm của phương trình

b) Chứng minh rằng I là trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. 

Trả lời rút gọn:

a) Tập xác định: D =

 = 0 

 I (1;0)

b)   

Hàm số đạt cực tiểu tại

Hàm số đạt cực đại tạo

Trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm cực trị có tọa độ là:  

Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm cực trị trùng với tọa độ điểm I hay điểm I chính là trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm cực trị  của đồ thị hàm số. 

Giải bài 3 trang 36 toán 12 tập 1 ctst

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số sau: 

a) :                                     b)

Trả lời rút gọn:

a) 

1. Tập xác định: D =
2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm . Vì  nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng

• Tiệm cận:

Ta có:  ;. 

Suy ra đường thẳng x = 0 hay trục tunglà đường tiệm cận đứng của đồ thị.

Ta có:

Suy đường thẳng y = 3  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị: 

Đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm .Tâm đối xứng của đồ thị là điểm .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 0 và y = 3 .

b) 

1. Tập xác định: D =
2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm . Vì  nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng

• Tiệm cận:

Ta có:  ;. 

Suy ra đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị.

Ta có:

Suy đường thẳng y = - 1  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị: 

Đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (3;0), giao với trục Oy tại điểm (0; -3).

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 3 và y = -3.

Giải bài 4 trang 36 toán 12 tập 1 ctst

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau: 

a)                                           b)

Trả lời rút gọn:

a)

1. Tập xác định: D =
2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm  = 0

Trên các khoảng nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng ,  nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

• Các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:

Ta có:

Suy ra đường thẳng  là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có:  ;.

Suy đường thẳng  hay trục tung là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị: 

Đồ thị của hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; -2)

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm  trùng với gốc tọa độ O.

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = x - 3 .

b)

1. Tập xác định: D =
2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm

Trên các khoảng  và ,  nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó. 

Trên các khoảng  và ,  nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. 

• Cực trị: 

Hàm số đạt cực tiểu tại

Hàm số đạt cực đại tạo

• Các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:

Ta có:

Suy ra đường thẳng  là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có:  ;.

Suy đường thẳng  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị: 

Đồ thị của hàm số giao với trục Oy tại điểm

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = -  và y = 2x - 1 .

Giải bài 5 trang 36 toán 12 tập 1 ctst

Cho hàm số:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

b) Tìm tọa độ trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Có nhận xét gì về điểm này?

Trả lời rút gọn:

a)

1. Tập xác định: D =
2. Sự biến thiên:

• Chiều biến thiên: 

Đạo hàm  = 0

Trên các khoảng nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng ,  nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

• Các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận:

Ta có:

Suy ra đường thẳng  là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có:  ;.

Suy đường thẳng  là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

• Bảng biến thiên: 

3. Đồ thị:

Ta có: . 

Đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm

Đồ thị của hàm số giao với trục Oy tại điểm

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm .

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = -2 và y = - x + 5 .

Giải bài 6 trang 36 toán 12 tập 1 ctst

Bạn Việt muốn dùng tấm bìa hình vuông cạnh 6 dm làm một chiếc hộp không nắp, có đáy là hình vuông bằng cách cắt bỏ đi 4 hình vuông nhỏ ở bốn góc của tấm bìa (Hình 11).

Bạn Việt muốn tìm độ dài cạnh hình vuông cần cắt bỏ để chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất.

a) Hãy thiết lập hàm số biểu thị thể tích hộp theo x với x là độ dài cạnh hình vuông cần cắt đi.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số tìm được.

Từ đó, hãy tư vấn cho bạn Việt cách giải quyết vấn đề và giải thích vì sao cần chọn giá trị này. (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)

Trả lời rút gọn:

a) Chiều cao của hộp bằng: h = x (dm)

Độ dài ở đáy hộp bằng:

Vậy thể tích hộp sẽ bằng:  (dm³)

b)Tập xác định: D = (0; 3)

Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1), nghịch biến trên khoảng (1;3). 

Bảng biến thiên: 

Đồ thị: 

Từ đồ thị trên, ta có thể thấy, khi độ dài cạnh hình vuông cần cắt bỏ bằng 1 thì chiếc hộp đạt thể tích lớn nhất.