Tìm điều kiện của tham số để hàm số thoả mãn một điều kiện nào đó về số lượng các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu).

I.Phương pháp giải

Ta xét đủ các trường hợp:

• TH1: a = 0:

1. Nếu b $\neq $ 0 thì $y = bx^{2} + cx + d$ là hàm bậc hai nên có đúng một điểm cực trị;
2. Nếu b = 0 thì $y = cx + d$ không có điểm cực trị;

• TH2: a $\neq $ 0. Trong trường hợp này, hàm đã cho là bậc ba. Hàm số có thể không có hoặc có hai điểm cực trị tuỳ vào số nghiệm của $y^{'}$.

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tìm tất cả giá trị thực của m để hàm số $y = (m - 3)x^{3} - 2mx^{2} + 3$ không có cực trị.

Bài giải:

Tập xác định: $D = R$.

Ta xét 2 trường hợp:

TH1: m - 3 = 0 $\Leftrightarrow $ m = 3. Khi đó, $y = -6x^{2} + 3$ là một hàm bậc hai có một điểm cực trị (loại).

TH2: m - 3 $\neq $ 0 $\Leftrightarrow $ m $\neq $  3. Trong trường hợp này, y là hàm bậc ba.

 Ta có: $y = 3(m -3)x^{2} - 4mx$, có $\Delta ^{'} = 4m^{2}$.. Điều kiện để hàm số không có cực trị là $\Delta ^{'} \leq 0$ $\Leftrightarrow $ m = 0.

Vậy m = 0.

Bài tập 2: Tìm m để hàm số sau có hai cực trị (một cực đại, một cực tiểu):  

                    $y = \frac{1}{3}x^{3} + mx^{2} + (m + 6)x - 1$.

Bài giải:

Tập xác định: $D = R$.

Ta có: $y^{'} = x^{2} + 2mx + m + 6$, có $\Delta ^{'} = m^{2} - m - 6$.

Hàm số có hai cực trị $\Leftrightarrow $ $y^{'}$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow $ $\Delta ^{'} = m^{2} - m - 6$ > 0.

$\Leftrightarrow $ m > 3 hoặc m < -2.

Vậy m > 3 hoặc m < -2.