Đường thẳng đi qua các điểm cực trị
Dạng 5: Cho hàm số $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$ (C). Giả sử hàm số có hai điểm cực trị, gọi d là đường thẳng đi qua các điểm cực trị của (C). Ta xét một số câu hỏi liên quan đến đường thẳng d, chẳng hạn:
- Nhận dạng đường thẳng nào là đường thẳng d;
- Tìm điểm thuộc đường thẳng d.
I.Phương pháp giải
Để giải quyết những bài toán dạng này, ta cần nắm được (xem lại điểm cực trị của đồ thị hàm bậc ba):
- Cách lập phương trình đường thẳng d;
- Một số tính chất của đường thẳng d.
Chú ý:
Hàm số bậc ba $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d$.
Chia $f(x)$ cho $f(x)^{'}$ ta được: $f(x)$ = $Q(x)$.$f(x)^{'}$ + Ax + B.
Khi đó nếu $(x_{1}; y_{1}), (x_{2}; y_{2})$ là hai điểm cực trị thì:$y_{1} = f_{1} = Ax_{1} + B$. và $y_{2} = f_{2} = Ax_{2} + B$.
Suy ra các điểm $(x_{1}; y_{1}), (x_{2}; y_{2})$ nằm trên đường thẳng $y = Ax + B$.
II.Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Cho hàm số $y = -x^{3} + 3mx^{2} + 3(1 - m^{2})x + m^{3}-m^{2}$. Viết phương trình đi qua hai điểm cực trị của hàm số đã cho.
Bài giải:
Ta có: $y^{'} = -3x^{2} + 6mx + 3(1-m^{2})$.
Phương trình $y^{'}=0$ có $\Delta ^{'} = 9 > 0$, với mọi m $\Rightarrow $ đồ thị hàm số đã cho luôn có hai điểm cực trị $(x_{1}; y_{1}), (x_{2}; y_{2})$.
Chia $y$ cho $y^{'}$ ta được: $y = (\frac{1}{3}x-\frac{m}{3})y^{'} + 2x - m^{2} + m$.
Khi đó: $y_{1} = 2x_{1} - m^{2} + m$; $y_{2} = 2x_{2} - m^{2} + m$.
Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số đã cho là: $y = 2x - m^{2} + m$.
Bài tập 2: Cho hàm số $y=x^{3}-3x^{2} + mx$. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số đã cho có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng d: x -2y - 5 = 0.
Bài giải:
Ta có: $y^{'}=3x^{2}-6x+m$.
Hàm số có cực đại và cực tiểu $\Leftrightarrow y^{'}=3x^{2}-6x+m = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta ^{'}=9-3m> 0\Leftrightarrow m< 3$.
Ta có: $y=(\frac{1}{3}x-\frac{1}{3})y^{'}+(\frac{2}{3}m-2)x+\frac{1}{3}m$.
Do đó đường thẳng $\Delta $ đi qua các điểm cực trị có phương trình: $y= (\frac{2}{3}m-2)x+\frac{1}{3}m$.
$\Delta $ có hệ số góc là $k_{1}=\frac{2}{3}m-2$.
d: x -2y - 5 = 0 $\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$ nên d có hệ số góc là $k_{2}=\frac{1}{2}$
Đồ thị hàm số đã cho có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng d: x -2y - 5 = 0 nên $d\perp \Delta$.
$\Leftrightarrow k_{1}.k_{2}=-1\Leftrightarrow \frac{1}{2}(\frac{2}{3}m-2)=-1\Leftrightarrow m=0$.
Với m = 0 thì đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; -4), nên trung điểm của chúng là I(1; -2).
Ta thấy I(1; -2) thuộc đường thẳng d: x -2y - 5 = 0 nên hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho đối xứng qua đường thẳng d.
Vậy m = 0.
Xem toàn bộ: Giải bài 2: Cực trị của hàm số
Giải những bài tập khác
Giải bài tập những môn khác
Môn học lớp 12 KNTT
5 phút giải toán 12 KNTT
5 phút soạn bài văn 12 KNTT
Văn mẫu 12 KNTT
5 phút giải vật lí 12 KNTT
5 phút giải hoá học 12 KNTT
5 phút giải sinh học 12 KNTT
5 phút giải KTPL 12 KNTT
5 phút giải lịch sử 12 KNTT
5 phút giải địa lí 12 KNTT
5 phút giải CN lâm nghiệp 12 KNTT
5 phút giải CN điện - điện tử 12 KNTT
5 phút giải THUD12 KNTT
5 phút giải KHMT12 KNTT
5 phút giải HĐTN 12 KNTT
5 phút giải ANQP 12 KNTT
Môn học lớp 12 CTST
5 phút giải toán 12 CTST
5 phút soạn bài văn 12 CTST
Văn mẫu 12 CTST
5 phút giải vật lí 12 CTST
5 phút giải hoá học 12 CTST
5 phút giải sinh học 12 CTST
5 phút giải KTPL 12 CTST
5 phút giải lịch sử 12 CTST
5 phút giải địa lí 12 CTST
5 phút giải THUD 12 CTST
5 phút giải KHMT 12 CTST
5 phút giải HĐTN 12 bản 1 CTST
5 phút giải HĐTN 12 bản 2 CTST
Môn học lớp 12 cánh diều
5 phút giải toán 12 CD
5 phút soạn bài văn 12 CD
Văn mẫu 12 CD
5 phút giải vật lí 12 CD
5 phút giải hoá học 12 CD
5 phút giải sinh học 12 CD
5 phút giải KTPL 12 CD
5 phút giải lịch sử 12 CD
5 phút giải địa lí 12 CD
5 phút giải CN lâm nghiệp 12 CD
5 phút giải CN điện - điện tử 12 CD
5 phút giải THUD 12 CD
5 phút giải KHMT 12 CD
5 phút giải HĐTN 12 CD
5 phút giải ANQP 12 CD
Giải chuyên đề học tập lớp 12 kết nối tri thức
Giải chuyên đề Ngữ văn 12 Kết nối tri thức
Giải chuyên đề Toán 12 Kết nối tri thức
Giải chuyên đề Vật lí 12 Kết nối tri thức
Giải chuyên đề Hóa học 12 Kết nối tri thức
Giải chuyên đề Sinh học 12 Kết nối tri thức
Giải chuyên đề Kinh tế pháp luật 12 Kết nối tri thức
Giải chuyên đề Lịch sử 12 Kết nối tri thức
Giải chuyên đề Địa lí 12 Kết nối tri thức
Giải chuyên đề Tin học ứng dụng 12 Kết nối tri thức
Giải chuyên đề Khoa học máy tính 12 Kết nối tri thức
Giải chuyên đề Công nghệ 12 Điện - điện tử Kết nối tri thức
Giải chuyên đề Công nghệ 12 Lâm nghiệp thủy sản Kết nối tri thức
Giải chuyên đề học tập lớp 12 chân trời sáng tạo
Giải chuyên đề Ngữ văn 12 Chân trời sáng tạo
Giải chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo
Giải chuyên đề Vật lí 12 Chân trời sáng tạo
Giải chuyên đề Hóa học 12 Chân trời sáng tạo
Giải chuyên đề Sinh học 12 Chân trời sáng tạo
Giải chuyên đề Kinh tế pháp luật 12 Chân trời sáng tạo
Giải chuyên đề Lịch sử 12 Chân trời sáng tạo
Giải chuyên đề Địa lí 12 Chân trời sáng tạo
Giải chuyên đề Tin học ứng dụng 12 Chân trời sáng tạo
Giải chuyên đề Khoa học máy tính 12 Chân trời sáng tạo
Giải chuyên đề Công nghệ 12 Điện - điện tử Chân trời sáng tạo
Giải chuyên đề Công nghệ 12 Lâm nghiệp thủy sản Chân trời sáng tạo
Giải chuyên đề học tập lớp 12 cánh diều
Giải chuyên đề Ngữ văn 12 Cánh diều
Giải chuyên đề Toán 12 Cánh diều
Giải chuyên đề Vật lí 12 Cánh diều
Giải chuyên đề Hóa học 12 Cánh diều
Giải chuyên đề Sinh học 12 Cánh diều
Giải chuyên đề Kinh tế pháp luật 12 Cánh diều
Giải chuyên đề Lịch sử 12 Cánh diều
Giải chuyên đề Địa lí 12 Cánh diều
Giải chuyên đề Tin học ứng dụng 12 Cánh diều
Giải chuyên đề Khoa học máy tính 12 Cánh diều
Giải chuyên đề Công nghệ 12 Điện - điện tử Cánh diều
Giải chuyên đề Công nghệ 12 Lâm nghiệp thủy sản Cánh diều
Bình luận