Giải câu 1 bài vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

a. Tọa độ giao điểm của ${{d}_{1}}:3x+2y-5=0$ và ${{d}_{2}}:x-4y+1=0$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{align}& 3x+2y-5=0 \\ & x-4y+1=0 \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& x=\frac{4}{7} \\ & y=\frac{9}{7} \\\end{align} \right.$.

$\Rightarrow$ Hệ có nghiệm duy nhất: $x = \frac{4}{7}$ và $y = \frac{9}{7}$

Vậy ${{d}_{1}}$ và  ${{d}_{2}}$ có 1 điểm chung, hay ${{d}_{1}}$ cắt  ${{d}_{2}}$ 

b. Tọa độ giao điểm của ${{d}_{3}}:x-2y+3=0$ và ${{d}_{4}}:-2x+4y+10=0$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{align}& x-2y+3=0 \\ & -2x+4y+10=0 \\\end{align} \right.$

$\frac{1}{-2}=\frac{-2}{4}\ne \frac{3}{10}$

$\Rightarrow$ Hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy ${{d}_{3}}$ và ${{d}_{4}}$ không có điểm chung hay ${{d}_{3}}$ //  ${{d}_{4}}$ 

c. Đường thẳng ${{d}_{5}}:4x+2y-3=0$ và ${{d}_{6}}:\left\{ \begin{align}& x=\frac{-1}{2}+t \\ & y=\frac{5}{2}-2t \\\end{align} \right.$ lần lượt có vecto chỉ phương $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2;-4\right)$ và $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=\left( 1;-2 \right)$. Suy ra $\overrightarrow{{{u}_{1}}}$ = 2$\overrightarrow{{{u}_{2}}}$. Chọn t = 0, ta có điểm $M\left( \frac{-1}{2};\frac{5}{2} \right)$ $\in \left( {{d}_{6}} \right)$. Do 4.$\frac{-1}{2}$ + 2.$\frac{5}{2}$ -3 $\ne 0$ nên $M\left( \frac{-1}{2};\frac{5}{2} \right)\notin \left( {{d}_{5}} \right)$.

Vậy ${{d}_{5}}$ // ${{d}_{6}}$