Đáp án câu 5 đề 4 kiểm tra học kì 2 Toán 9
Câu 5(1 điểm): Cho x, y dương thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\frac{x}{\sqrt{1-x}} + \frac{y}{1-y}$
Ta có: x + y = 1 $\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x = 1 - y > 0\\ y = 1 - x > 0\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{x} = \sqrt{1 - y} > 0\\ \sqrt{y} = \sqrt{1 - x} > 0\end{matrix}\right.$
$\Rightarrow P = \frac{1-y}{\sqrt{y}} + \frac{1-x}{\sqrt{x}} = \left (\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} \right ) - (\sqrt{x} + \sqrt{y})$
Lại có $xy \leq \left ( \frac{x+y}{2} \right )^{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow \frac{1}{xy} \geq 4 (x, y > 0)$ $\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{xy}} \geq 2$
Dấu "=" xảy ra khi x = y
$\Rightarrow \left ( \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} \right ) \geq 2\sqrt{\frac{1}{\sqrt{xy}}} \geq 2\sqrt{2}$
Mặt khác $(1.\sqrt{x} + 1\sqrt{y})^{2} \leq (1 + 1)(x + y) = 2$
$\Rightarrow \sqrt{x} + \sqrt{y} \leq \sqrt{2}$
Dấu "=" xảy ra khi x = y
Do đó: $P \geq 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$
Vậy Min P = $\sqrt{2}$ khi x = y = $\frac{1}{2}$
Xem toàn bộ: Toán 9: Đề kiểm tra học kì 2 (Đề 4)
Giải những bài tập khác
Giải bài tập những môn khác
Giải sgk lớp 9 VNEN
Tài liệu lớp 9
Văn mẫu lớp 9
Đề thi lên 10 Toán
Đề thi môn Hóa 9
Đề thi môn Địa lớp 9
Đề thi môn vật lí 9
Tập bản đồ địa lí 9
Ôn toán 9 lên 10
Ôn Ngữ văn 9 lên 10
Ôn Tiếng Anh 9 lên 10
Đề thi lên 10 chuyên Toán
Chuyên đề ôn tập Hóa 9
Chuyên đề ôn tập Sử lớp 9
Chuyên đề toán 9
Chuyên đề Địa Lý 9
Phát triển năng lực toán 9 tập 1
Bài tập phát triển năng lực toán 9
Bình luận