Đáp án câu 4 đề 4 kiểm tra học kì 2 Toán 9

a, Ta có: $\widehat{BMA} = 90^{\circ}$ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và $\widehat{BIK} = 90^{\circ}$.

Xét tứ giác BMKI có $\widehat{BAM} + \widehat{BIK} = 180^{\circ}$. Mà 2 góc này đối nhau.

Vậy tứ giasc BMKI nội tiếp (đpcm)

b, Xét $\Delta AIK$ và $\Delta DIB$ có:

$\widehat{AIK} = \widehat{DIB} = 90^{\circ}$; $\widehat{IDB} = \widehat{IAK}$ (cùng phụ với góc B)

$\Rightarrow  \Delta AIK \sim \Delta DIB$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{AI}{DI} = \frac{AK}{BD} \Rightarrow AI.BD = DI.AK$ (đpcm)

c, Xét $\Delta ABD$ có AM và DI là 2 đường cao mà AM cắt DI tại K.

$\Rightarrow $ K là trực tâm $\Delta ABD$

$\Rightarrow BK \perp AD$. Mà $BN \perp AD$

$\Rightarrow $ B, K, N thẳng hàng.

Tứ giác BMKI nội tiếp $\Rightarrow \widehat{KMI} = \widehat{KBI}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung KI)

$\widehat{NMA} = \widehat{NBA}$ (2 góc nội tiếp chắn cung AN). Mà B, K, N thẳng hàng $\Rightarrow \widehat{NMA} = \widehat{KBI}$

$\Rightarrow \widehat{KMI} = \widehat{NMA} \Rightarrow$ MA là phân giác của $\widehat{NMI}$

Chứng minh tương tự ta có IK là tia phân giác của $\widehat{NIM}$

Mà MA cắt IK tại K nên K là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta MIN$ (đpcm)