Đáp án câu 5 đề 10 kiểm tra học kì 2 Toán 9
Câu 5(1 điểm): Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn a + b $\leq $ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = $\frac{1}{a^{2} + b^{2}} + \frac{25}{ab}$ + ab.
Áp dụng bất đẳng thức $(a + b)^{2} \geq 4ab \Leftrightarrow \frac{a + b}{ab} \geq \frac{4}{a + b} \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}$
Ta có:
S = $\frac{1}{a^{2} + b^{2}} + \frac{25}{ab}$ + ab
$\Leftrightarrow S = \frac{1}{a^{2} + b^{2}} + \frac{1}{2ab} + \frac{49}{2ab}$ + ab.
$\Rightarrow S \geq \frac{4}{a^{2} + b^{2} + 2ab} + \frac{49}{2ab} + ab$
$\Leftrightarrow S \geq \frac{4}{(a + b)^{2}} + \frac{17}{2ab} + \frac{16}{ab} + ab$
+, $\frac{16}{ab} + ab \geq 2.\sqrt{\frac{16}{ab}.ab} = 8$
+, $\frac{4}{(a + b)^{2}} \geq \frac{4}{4^{2}} = \frac{1}{4}$ (do a + b $\leq $ 4)
+, $ab \leq \frac{(a + b)^{2}}{4} \leq 4$ $\Rightarrow \frac{17}{2ab} \geq \frac{17}{2.4}$
Do đó ta có S $\geq \frac{1}{4} + \frac{17}{2.4} + 8$
$\Leftrightarrow S \geq \frac{83}{8}$
Dấu "=" xảy ra khi $\left\{\begin{matrix}a + b = 4\\ a = b\\ a.b = 4\end{matrix}\right. \Leftrightarrow a = b = 2$
Vậy Min S = $\frac{83}{8}$ khi a = b = 2.
Xem toàn bộ: Toán 9: Đề kiểm tra học kì 2 (Đề 10)
Giải những bài tập khác
Giải bài tập những môn khác
Giải sgk lớp 9 VNEN
Tài liệu lớp 9
Văn mẫu lớp 9
Đề thi lên 10 Toán
Đề thi môn Hóa 9
Đề thi môn Địa lớp 9
Đề thi môn vật lí 9
Tập bản đồ địa lí 9
Ôn toán 9 lên 10
Ôn Ngữ văn 9 lên 10
Ôn Tiếng Anh 9 lên 10
Đề thi lên 10 chuyên Toán
Chuyên đề ôn tập Hóa 9
Chuyên đề ôn tập Sử lớp 9
Chuyên đề toán 9
Chuyên đề Địa Lý 9
Phát triển năng lực toán 9 tập 1
Bài tập phát triển năng lực toán 9
Bình luận