Đáp án câu 4 đề 8 kiểm tra học kì 2 Toán 9

a, Vì $AB \perp MN$ nên $\widehat{AHE} = 90^{\circ}$

Có: $\widehat{AKE} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \widehat{AHE} + \widehat{AKE} = 180^{\circ}$.

Vậy tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp. (Tổng hai góc đối bằng $180^{\circ}$)

b, Xét $\Delta CAE$ và $\Delta CHK$ có:

+ chung $\widehat{C}$

+ $\widehat{EAC} = \widehat{EHK}$ ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung EK)\

$\Rightarrow \Delta CAE \sim \Delta CHK$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{CA}{CH} = \frac{CE}{CK}$

$\Rightarrow $ CA.CK = CE.CH

c, Do đường kính AB vuông góc MN nên B là điểm chính giữa cung MN

$\Rightarrow \widehat{MKB} = \widehat{NKB}$ (1)

Lại có: BK // NF (vì cùng vuông góc với AC) nên $\left\{\begin{matrix}\widehat{NKB} = \widehat{KNF}\\ \widehat{MKB} = \widehat{MFN}\end{matrix}\right.$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{MFN} = \widehat{KNF}$ hay $\widehat{KFN} = \widehat{KNF}$

$\Rightarrow \Delta NFK$ cân tại K.

d, Ta có: $\widehat{AKB} = 90^{\circ} \Rightarrow \widehat{BKC} = 90^{\circ}$

$\Rightarrow \Delta KEC$ vuông tại K.

Theo giả thiết ta lại có KE = KC nên tam giác KEC vuông cân tại K

$\Rightarrow \widehat{BEH} = \widehat{KEC} = 45^{\circ} \Rightarrow \widehat{OBK} = 45^{\circ}$

Mặt khác vì $\Delta OBK$ cân tại O (do OB = OK = R) nên suy ra $\Delta OBK$ vuông cân tại O 

$\Rightarrow OK \perp OB$

$\Rightarrow$ OK // MN (cùng vuông góc với AB)