Dạng 2: Giải bất phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp lôgarit hai vế

I. Phương pháp giải:

• Nếu $a>1$: $a^{f(x)}>b^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)>g(x).\log_a b$
• Nếu $0<a<1$: $a^{f(x)}>b^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)<g(x).\log_a b$

II. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Có bao nhiêu nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 5 thoả mãn bất phương trình

                       $2^x. 3^{x-1}.5^{x-2}>12.$

Bài giải: Lấy lôgarit cơ số 10 hai vế ta được

$\lg (2^x. 3^{x-1}.5^{x-2})>\lg 12 $

$\Leftrightarrow \lg 2^x +\lg 3^{x-1}+\lg 5^{x-2}>\lg 12$

$\Leftrightarrow x\lg 2 +(x-1)\lg 3+(x-2)\lg 5>\lg 12$

$\Leftrightarrow x(\lg 2 +\lg 3+\lg 5)>\lg 12+\lg 3+2\lg 5$

$\Leftrightarrow x(\lg 2 +\lg 3+\lg 5)>2\lg 2 +2\lg 3+2\lg 5$

$\Leftrightarrow x>2$.

Vậy có 2 nghiệm nguyên dương nhỏ hơn 5 là x=3; 4 thoả mãn.

Bài tập 2: Bất phương trình sau có bao nhiêu nghiệm dương trong đoạn [5; 10].

                   $5^x.8^{\frac{x-1}{x}}<500.$

Bài giải: Ta có:

$5^x.8^{\frac{x-1}{x}}<500\Leftrightarrow 5^x.2^{3.\frac{x-1}{x}}<5^3.2^2\Leftrightarrow 5^{x-3}.2^{\frac{x-3}{x}}<1.$

Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế, ta được:

$\log_2 5^{x-3}.2^{\frac{x-3}{x}}<0$

$\Leftrightarrow \log_2 (5^{x-3})+ \log_2 (2^{\frac{x-3}{x}})<0$

$\Leftrightarrow (x-3) \log_2 5+ \frac{x-3}{x}<0$

$\Leftrightarrow (x-3) (\log_2 5+ \frac{1}{x})<0$

$\Leftrightarrow \log_2 5+ \frac{1}{x}<0$

$\Leftrightarrow 1+x \log_2 5<0$

$\Leftrightarrow x<\frac{-1}{ \log_2 5}$.

Vậy bất phương trình không có nghiệm dương trong đoạn [5; 10].