Dạng 1: Giải bất phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ

I. Phương pháp giải:

Một số lưu ý khi đặt ẩn phụ

1. Nếu đặt $t=a^x$ thì $t>0$; $a^{2x}=t^2$;...
2. Gặp bất phương trình dạng $m.a^{2.f(x)}+n.a^{f(x)+g(x)}+p.a^{2g(x)}>0$ ta chia cả hai vế cho $a^{2g(x)}$ và ta đặt $a^{f(x)-g(x)}.$
3. Gặp bất phương trình dạng $m.a^{2.f(x)}+n.(ab)^{f(x)}+p.b^{2f(x)}>0$ ta chia cả hai vế cho $a^{2f(x)}$ và ta đặt $t=(\frac{a}{b})^{f(x)}$ (a>b).
4. $\sqrt{2}-1=(\sqrt{2}+1)^{-1}$; $2- \sqrt{3}=(\sqrt{3}+2)^{-1}$.

II. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Tính tổng tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình sau:

$(5+\sqrt{21})^x+(5-\sqrt{21})^x\leq 2^{x+\log_2 5}$.

Bài giải: Chia hai vế của bất phương trình cho $2^x$ ta được,

$(\frac{5+\sqrt{21}}{2})^x+(\frac{5-\sqrt{21}}{2})^x\leq 5$.

Vì $(\frac{5+\sqrt{21}}{2}). (\frac{5-\sqrt{21}}{2}) =1$ nên đặt $t=(\frac{5+\sqrt{21}}{2})^x$ thì $(\frac{5-\sqrt{21}}{2})^x=\frac{1}{t}$.

Khi đó bất phương trình trở thành:

$t+\frac{1}{t}\leq 5 \Leftrightarrow t^2-5t+1\leq 0\Leftrightarrow \frac{5-\sqrt{21}}{2}\leq t\leq \frac{5+\sqrt{21}}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{5-\sqrt{21}}{2}\leq (\frac{5+\sqrt{21}}{2})^x   \leq \frac{5+\sqrt{21}}{2}$

$\Leftrightarrow  -1\leq x\leq 1.$

Vậy tổng tất cả các nghiệm dương của bất phương trình là T=1.

Bài tập 2: Xác định $m$ để bất phương trình $4^x-(m+2).2^x+8m+1<0$; (1) nghiệm đúng với mọi $x\in (-\infty; 1).$ 

Bài giải: Đặt $2^x=t$, bất phương trình tương đương $t^2-(m+2)t+8m+1<0.$   (2)

Ta có $x\in (-\infty; 1)$ thì $t\in (0;2).$ 

Bài toán tương đương với phương trình $f(t)=0$ có hai nghiệm $t_1; t_2$ thoả mãn $t_1<0<2<t_2,$ tức là:

$\left\{\begin{matrix}a.f(0)<0\\a.f(2)<0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}8m+1<0\\ 6m+1<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m>\frac{-1}{8}$.

Vậy $m>\frac{-1}{8}$.