Ôn tập thi THPT quốc gia môn Toán chuyên đề SỐ PHỨC


Ta đã biết các phương trình bậc hai với biệt số âm không có nghiệm thực. Với mong muốn mở rộng tập hợp số thực để mọi phương trình bậc n đều có nghiệm, người ta đưa ra một số mới kí hiệu là i. Tập hợp các số này được gọi là tập hợp các số phức.

NỘI DUNG TRẮC NGHIỆM

Ôn tập thi THPT quốc gia môn Toán chuyên đề SỐ PHỨC

A. Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa

  • Mỗi biểu thức có dạng a+bi với $a,b \in \mathbb{R}, i^{2}=-1$ được gọi là một số phức. Trong đó a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo. Ký hiệu tập hợp các số phức là $\mathbb{C}$.
  • Điểm M(a,b) trong hệ trục tọa độ vuông góc trong mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn của số phức z=a+bi.
  • a+bi=c+di $\Leftrightarrow$ a=c và b=d.

2. Các phép toán

Với $a,b,c,d \in \mathbb{R}$, $c+di \neq 0$, $ z=a+bi$

  • $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+i(b+d)$
  • $(a+bi)-(c+di)=(a-c)+i(b-d)$
  • $(a+bi).(c+di)=(ac-bd)+i(ad+bc)$
  • $\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi).(c-di)}{(c+di).(c-di)}=\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+i.\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}$
  • $|a+bi|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ được gọi là môđun của số phức
  • $\overline{z}=a-bi$ được gọi là số phức liên hợp

Chú ý: $z+\overline{z}=2a$ và $z. \overline{z}=|z|^{2}$

B. Các dạng bài tập

Dạng 1: Tìm phần thực, phần ảo và tính môđun của một biểu thức phức

Phương pháp

 Cách 1: Tính toán như trong tập số thực, chỉ có $i^{2}$ thay bằng -1, chia thì nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp.

 Cách 2: Sử dụng máy tính, nhấn MODE 2 để chuyển sang chế độ CMPLX 

Ví dụ 1: Tìm phần thực và phần ảo và tính môđun của số phức $z=(3+2i)(\overline{2+5i}) -(3+i)^{3}$

Giải:$z=(3+2i)(2-5i)-( 27+27i+9i^{2}+i^{3})=16-11i-18-26i=-2-37i$

Vậy $Re(z)=-2, Im(z)=-37$, $|z|= \sqrt{(-2)^{2}+(-37)^{2}}=1373$

Bài tập áp dụng

Câu 1: Cho số phức $z+1=i^{2017}+i^{2018}$ . Tìm $|z'|$ biết $z'=\overline{z}+iz$.

Câu 2:  Tính module và số phức liên hợp của mỗi số phức z sau

  1. $z=(2-5i)(3+i)$
  2. $(1+i)z+3=2i-4z$
  3. $z=\frac{2+3i}{(4+i)(2-3i)}$

Câu 3: Cho $z_{1}=4-3i+(1-i)^{3}$, $z_{2}=\frac{1+2i-(1-i)^{2}}{1+i}$. Tìm môđun của số phức $z=z_{1}.\overline{z_{2}}$.

Dạng 2: Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp

Thay $z=a+bi$ vào điều kiện đề bài, biến đổi để lập biểu thức liên hệ giữa x và y: $f(x,y)=0$.

$f(x,y)=0$ là phương trình của đường nào và kết luận tập hợp các điểm z là đường đó.

Ví dụ 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w=(z+i)(2+i)$  trong đó z là số phức thỏa $|z - 2| = 3$

Giải: Gọi số phức $w=x+yi$

$w=(z+i)(2+i)=x+yi \Leftrightarrow z=\frac{x+yi}{2+i}-i=\frac{2x+y}{5}+i\frac{-x+2y-5}{5}$

Mà $|z-2|=3$ nên $|\frac{2x+y}{5}+i\frac{-x+2y-5}{5}-2|=3 \Leftrightarrow  (2x+y-10)^{2}  + (2x-y-5)^{2}  = 225$ 

Vậy $ (2x+y-10)^{2}  + (2x-y-5)^{2}  = 225$  là phương trình biểu diễn tập số phức w.

Bài tập áp dụng


Câu 1: Tìm quỹ tích các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn

  1. $|z+\overline{z}+3|=4$
  2. $(2-z)(i+ \overline{z})$ là số thực
  3. $|z-4i|+|z+4i|=10$

Câu 2: Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức $w=(1+i \sqrt{3})z+2$ trong đó $|z-1| \leq 2$

Câu 3: Giải hệ phương trình sau với $z$ là ẩn số  $\left\{\begin{matrix} |z-1-4i|=3\\ \left| \frac{z+3+2i}{z+\frac{3}{2}-i} \right|=2\\ \end{matrix}\right.$

Dạng 3: Giải phương trình với ẩn phức

a) Căn bậc hai của số phức

Cho số phức z = a + bi, số phức w = x + yi được gọi là căn bậc hai của số phức z nếu $w^{2}=z$ hay $(x+yi)^{2}=a+bi$

 Khi b = 0 thì z = a, ta có 2 trường hợp đơn giản sau :

+ TH1 : a> 0 $\Rightarrow $ $w = \pm \sqrt{a}$

+ TH2 : a < 0 $\Rightarrow $ $w=\pm i\sqrt{-a}$

Khi b ≠ 0, để tìm căn bậc 2 của z ta giải hệ phương trình từ đồng nhất thức:

$(x + yi) ^{2}  = a + bi$ hay $ \left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=a\\ 2xy=b\\ \end{matrix}\right.$

b) Phương trình phức bậc hai

Phương pháp
Xét với phương trình phức bậc hai $Az^{2}+Bz+C=0$

TH1: Các hệ số A, B, C là các số thực. Tính $\Delta=B^{2}-4AC$

+ Nếu $\Delta \geq 0$ thì phương trình có nghiệm thực $z=\frac{-B \pm \sqrt{\Delta}}{2A}$

+ Nếu $\Delta<0$ thì phương trình có nghiệm phức $z=\frac{-B \pm i .\sqrt{\Delta}}{2A}$

Hoặc sử dụng máy tính bỏ túi để giải phương trình.

TH2: Các hệ số A, B, C là các số phức. Tính $\Delta=B^{2}-4AC=a+bi=(x+yi)^{2}$

Khi đó phương trình có nghiệm $z=\frac{-B \pm (x+yi)}{2A}$

Chú ý: Nếu phương trình bậc cao hơn, ta nhẩm nghiệm rồi đưa về phương trình tích (bằng cách sử dụng máy tính)

Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của số phức sau $z=-5-12i$

Giải: Gọi $w=x+yi (x,y \in \mathbb{R})$ là căn bậc hai của số phức $z$

Ta có $w^{2}=(x+yi)^{2}=-5-12i \Leftrightarrow   \left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=-5\\ 2xy=-12\\ \end{matrix}\right.$

Với $y=0$ không là nghiệm của hệ phương trình.

Với $y \neq 0$ ta có $x=\frac{-6}{y}$ nên $(\frac{-6}{y})^{2}-y^{2}=-5 \Leftrightarrow  \left[ \matrix{y^{2}=9\hfill \cr y^{2}=-4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y=\pm 3$

Nếu $y=3$ thì $x=-2$ ta có $w=-2+3i$

Nếu $y=-3$ thì $x=2$ ta có $w=2-3i$

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức 

  1. $z^{2}+2z+5=0$
  2. $(z^{2}+i)(z^{2}-2iz-1)=0$
  3. $z^{3}-8=0$

Giải

1. Ta có $\Delta'=-4=4i^{2}$ nên $z=-1 \pm 2i$

2. $(z^{2}+i)(z^{2}-2iz-1)=0$ $\Leftrightarrow z^{2}+i=0$ hoặc $z^{2}-2iz-1=0$

TH1: $z^{2}=-i=(\frac{1-i}{\sqrt{2}})^{2}$ $\Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 5 \hfill \cr x = 2 \hfill \cr} \right.$

TH2: $z^{2}-2iz-1=0 \Leftrightarrow z^{2}-2iz+i^{2}=0 \Leftrightarrow (z-i)^{2}=0 \Leftrightarrow z=i$

3. Nhẩm nghiệm ta thấy có một nghiệm $z=2$. Ta có 

$z^{3}-8=0 \Leftrightarrow (z-2)(z^{2}+2z+4 \Leftrightarrow \left[ \matrix{z-2 \hfill \cr z^{2}+2z+4=0  \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow  \left[ \matrix{ z=2 \hfill \cr z=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\hfill \cr  z=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \hfill \cr } \right.$

B. BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

DẠNG 1:

Câu 1: Cho số phức $z+1=i^{2017}+i^{2018}$ . Tìm $|z'|$ biết $z'=\overline{z}+iz$.

Câu 2:  Tính module và số phức liên hợp của mỗi số phức z sau

  1. $z=(2-5i)(3+i)$
  2. $(1+i)z+3=2i-4z$
  3. $z=\frac{2+3i}{(4+i)(2-3i)}$

Câu 3: Cho $z_{1}=4-3i+(1-i)^{3}$, $z_{2}=\frac{1+2i-(1-i)^{2}}{1+i}$. Tìm môđun của số phức $z=z_{1}.\overline{z_{2}}$.

DẠNG 2:

Câu 1: Tìm quỹ tích các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn

  1. $|z+\overline{z}+3|=4$
  2. $(2-z)(i+ \overline{z})$ là số thực
  3. $|z-4i|+|z+4i|=10$

Câu 2: Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức $w=(1+i \sqrt{3})z+2$ trong đó $|z-1| \leq 2$

Câu 3: Giải hệ phương trình sau với $z$ là ẩn số  $\left\{\begin{matrix} |z-1-4i|=3\\ \left| \frac{z+3+2i}{z+\frac{3}{2}-i} \right|=2\\ \end{matrix}\right.$

DẠNG 3:

Câu 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau

  1. $z=-21+20i$
  2. $z=1+4 \sqrt{3}i$

Câu 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức

  1. $z^{2}-4z+20=0$
  2. $4z^{4}-3z^{2}-1=0$
  3. $(\frac{iz+3}{z-2i})^{2}-3.\frac{iz+3}{z-2i}-4=0$

Câu 3: Gọi $z_{1}, z_{2}$ là nghiệm của phương trình $z^{2}+2z+5=0$. Tính giá trị của các biểu thức sau

$A=|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}$

$B=|z_{1}|^{2}+|z_{2}|^{2}-a|\overline{z_{1}}||\overline{z_{2}}|$


Một số bài khác

Giải các môn học khác

Bình luận