A. Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa

• Mỗi biểu thức có dạng a+bi với $a,b \in \mathbb{R}, i^{2}=-1$ được gọi là một số phức. Trong đó a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo. Ký hiệu tập hợp các số phức là $\mathbb{C}$.
• Điểm M(a,b) trong hệ trục tọa độ vuông góc trong mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn của số phức z=a+bi.
• a+bi=c+di $\Leftrightarrow$ a=c và b=d.

2. Các phép toán

Với $a,b,c,d \in \mathbb{R}$, $c+di \neq 0$, $ z=a+bi$

• $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+i(b+d)$
• $(a+bi)-(c+di)=(a-c)+i(b-d)$
• $(a+bi).(c+di)=(ac-bd)+i(ad+bc)$
• $\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi).(c-di)}{(c+di).(c-di)}=\frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}+i.\frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}$
• $|a+bi|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ được gọi là môđun của số phức
• $\overline{z}=a-bi$ được gọi là số phức liên hợp

Chú ý: $z+\overline{z}=2a$ và $z. \overline{z}=|z|^{2}$

B. Các dạng bài tập

Dạng 1: Tìm phần thực, phần ảo và tính môđun của một biểu thức phức

Phương pháp

 Cách 1: Tính toán như trong tập số thực, chỉ có $i^{2}$ thay bằng -1, chia thì nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp.

 Cách 2: Sử dụng máy tính, nhấn MODE 2 để chuyển sang chế độ CMPLX 

Ví dụ 1: Tìm phần thực và phần ảo và tính môđun của số phức $z=(3+2i)(\overline{2+5i}) -(3+i)^{3}$

Giải:$z=(3+2i)(2-5i)-( 27+27i+9i^{2}+i^{3})=16-11i-18-26i=-2-37i$

Vậy $Re(z)=-2, Im(z)=-37$, $|z|= \sqrt{(-2)^{2}+(-37)^{2}}=1373$

Bài tập áp dụng

Câu 1: Cho số phức $z+1=i^{2017}+i^{2018}$ . Tìm $|z'|$ biết $z'=\overline{z}+iz$.

Câu 2:  Tính module và số phức liên hợp của mỗi số phức z sau

1. $z=(2-5i)(3+i)$
2. $(1+i)z+3=2i-4z$
3. $z=\frac{2+3i}{(4+i)(2-3i)}$

Câu 3: Cho $z_{1}=4-3i+(1-i)^{3}$, $z_{2}=\frac{1+2i-(1-i)^{2}}{1+i}$. Tìm môđun của số phức $z=z_{1}.\overline{z_{2}}$.

Dạng 2: Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp

Thay $z=a+bi$ vào điều kiện đề bài, biến đổi để lập biểu thức liên hệ giữa x và y: $f(x,y)=0$.

$f(x,y)=0$ là phương trình của đường nào và kết luận tập hợp các điểm z là đường đó.

Ví dụ 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức $w=(z+i)(2+i)$  trong đó z là số phức thỏa $|z - 2| = 3$

Giải: Gọi số phức $w=x+yi$

$w=(z+i)(2+i)=x+yi \Leftrightarrow z=\frac{x+yi}{2+i}-i=\frac{2x+y}{5}+i\frac{-x+2y-5}{5}$

Mà $|z-2|=3$ nên $|\frac{2x+y}{5}+i\frac{-x+2y-5}{5}-2|=3 \Leftrightarrow  (2x+y-10)^{2}  + (2x-y-5)^{2}  = 225$ 

Vậy $ (2x+y-10)^{2}  + (2x-y-5)^{2}  = 225$  là phương trình biểu diễn tập số phức w.

Bài tập áp dụng

Câu 1: Tìm quỹ tích các điểm $M$ biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn

1. $|z+\overline{z}+3|=4$
2. $(2-z)(i+ \overline{z})$ là số thực
3. $|z-4i|+|z+4i|=10$

Câu 2: Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức $w=(1+i \sqrt{3})z+2$ trong đó $|z-1| \leq 2$

Câu 3: Giải hệ phương trình sau với $z$ là ẩn số  $\left\{\begin{matrix} |z-1-4i|=3\\ \left| \frac{z+3+2i}{z+\frac{3}{2}-i} \right|=2\\ \end{matrix}\right.$

Dạng 3: Giải phương trình với ẩn phức

a) Căn bậc hai của số phức

Cho số phức z = a + bi, số phức w = x + yi được gọi là căn bậc hai của số phức z nếu $w^{2}=z$ hay $(x+yi)^{2}=a+bi$

 Khi b = 0 thì z = a, ta có 2 trường hợp đơn giản sau :

+ TH1 : a> 0 $\Rightarrow $ $w = \pm \sqrt{a}$

+ TH2 : a < 0 $\Rightarrow $ $w=\pm i\sqrt{-a}$

Khi b ≠ 0, để tìm căn bậc 2 của z ta giải hệ phương trình từ đồng nhất thức:

$(x + yi) ^{2}  = a + bi$ hay $ \left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=a\\ 2xy=b\\ \end{matrix}\right.$

b) Phương trình phức bậc hai

Phương pháp
Xét với phương trình phức bậc hai $Az^{2}+Bz+C=0$

TH1: Các hệ số A, B, C là các số thực. Tính $\Delta=B^{2}-4AC$

+ Nếu $\Delta \geq 0$ thì phương trình có nghiệm thực $z=\frac{-B \pm \sqrt{\Delta}}{2A}$

+ Nếu $\Delta<0$ thì phương trình có nghiệm phức $z=\frac{-B \pm i .\sqrt{\Delta}}{2A}$

Hoặc sử dụng máy tính bỏ túi để giải phương trình.

TH2: Các hệ số A, B, C là các số phức. Tính $\Delta=B^{2}-4AC=a+bi=(x+yi)^{2}$

Khi đó phương trình có nghiệm $z=\frac{-B \pm (x+yi)}{2A}$

Chú ý: Nếu phương trình bậc cao hơn, ta nhẩm nghiệm rồi đưa về phương trình tích (bằng cách sử dụng máy tính)

Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của số phức sau $z=-5-12i$

Giải: Gọi $w=x+yi (x,y \in \mathbb{R})$ là căn bậc hai của số phức $z$

Ta có $w^{2}=(x+yi)^{2}=-5-12i \Leftrightarrow   \left\{\begin{matrix} x^{2}-y^{2}=-5\\ 2xy=-12\\ \end{matrix}\right.$

Với $y=0$ không là nghiệm của hệ phương trình.

Với $y \neq 0$ ta có $x=\frac{-6}{y}$ nên $(\frac{-6}{y})^{2}-y^{2}=-5 \Leftrightarrow  \left[ \matrix{y^{2}=9\hfill \cr y^{2}=-4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y=\pm 3$

Nếu $y=3$ thì $x=-2$ ta có $w=-2+3i$

Nếu $y=-3$ thì $x=2$ ta có $w=2-3i$

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức 

1. $z^{2}+2z+5=0$
2. $(z^{2}+i)(z^{2}-2iz-1)=0$
3. $z^{3}-8=0$

Giải

1. Ta có $\Delta'=-4=4i^{2}$ nên $z=-1 \pm 2i$

2. $(z^{2}+i)(z^{2}-2iz-1)=0$ $\Leftrightarrow z^{2}+i=0$ hoặc $z^{2}-2iz-1=0$

TH1: $z^{2}=-i=(\frac{1-i}{\sqrt{2}})^{2}$ $\Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 5 \hfill \cr x = 2 \hfill \cr} \right.$

TH2: $z^{2}-2iz-1=0 \Leftrightarrow z^{2}-2iz+i^{2}=0 \Leftrightarrow (z-i)^{2}=0 \Leftrightarrow z=i$

3. Nhẩm nghiệm ta thấy có một nghiệm $z=2$. Ta có 

$z^{3}-8=0 \Leftrightarrow (z-2)(z^{2}+2z+4 \Leftrightarrow \left[ \matrix{z-2 \hfill \cr z^{2}+2z+4=0  \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow  \left[ \matrix{ z=2 \hfill \cr z=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\hfill \cr  z=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2} \hfill \cr } \right.$