A. Hàm số $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d (a \neq 0)$.

Bài toán 1: Cho hàm số $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$. Khi nào hàm số có hai điểm cực trị.

Phương pháp: $y'=3ax^{2}+2bx+c$

Để hàm số có cực trị thì phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta>0 $ ($\Delta'>0$) hay 

Bài toán 2: Cho hàm số $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$. Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị.

Phương pháp:

• Bước 1: Tính y', giải phương trình bằng chức năng EQN và lưu hai nghiệm vào ô nhớ A, B bằng cách nhấn SHIFT RCL.
• Bước 2: Tính giá trị cực trị bằng cách nhập hàm số $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ vào máy và sử dụng phím CALC để lưu vào ô nhớ C và D.
• Bước 3: Tính $d^{2}=(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}$ hay $d^{2}=(A-B)^{2}+(C-D)^{2}$.

Ví dụ: Tìm khoảng cách giữa hai điểm cực trị của hàm số $y=x^{3}-4x^{2}+3x-5$

Giải:

 Bài toán 3: Cho hàm số $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

Phương pháp:

Cách 1: Gọi $M(x,y)$ là một điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Ta có $y'=3ax^{2}+2bx+c=0$.

Hơn nữa, $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=(\frac{1}{3}x+\frac{b}{9a})(3ax^{2}+2bx+c)+(\frac{2}{3}c-\frac{2.b^{2}}{9a})x+d-\frac{bc}{9a}$

$=(\frac{2}{3}c-\frac{2.b^{2}}{9a})x+d-\frac{bc}{9a}$.

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là 

 Cách 2: Tìm hai điểm cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó.

• Bước 1: Giải phương trình $y'=0$ bằng chức năng EQN và lưu vào ô nhớ A, B.
• Bước 2: Tính tung độ tương ứng bằng cách nhập hàm và nhấn CALC.
• Bước 3: Giải hệ phương trình tìm các hệ số a và b của đường thẳng $ \left \{\begin{matrix} Aa+b=C \\ Ba+b=D \\ \end{matrix} \right.$

 Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số $y=x^{3}-4x^{2}+3x-5$.

Giải:

Cách 1: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y=(\frac{2}{3}.3-\frac{2.(-4)^{2}}{9})x+(-5)-\frac{-4.3}{9}=-\frac{11}{9}x-\frac{11}{3}.$

Cách 2: 

Bài toán 4: Bài toán về đồng biến, nghịch biến.

Cách 1: Tính y'

Cách 2: Sử dụng máy tính.

Ví dụ 1: Hàm số $y=\frac{x^{2}-2x-5}{x-2}$ đồng biến trên 

Cách 1: 

$y=\frac{x^{2}-2x-5}{x-2}=x-\frac{5}{x-2} \Rightarrow y'=1+\frac{5}{(x-2)^{2}}>0$ với $\forall x \neq 2$.

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $ (-\infty,2) \cup (2,+\infty)$. Chọn D.

Cách 2: Sử dụng trực tiếp Casio để thử đáp án.

Ta có định lí sau: Giả sử hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(a,b)$.

• Nếu $f'(x)>0$ với mọi $x \in (a,b)$ thì hàm số đồng biến trên khoảng $(a,b)$.
• Nếu $f'(x)<0$ với mọi $x \in (a,b)$ thì hàm số nghịch biến trên khoảng $(a,b)$.

$\Rightarrow $ Dùng chức năng tính đạo hàm tại một điểm và gán một giá trị $x_{0}$ nằm trong tập xác định cho trước:

• Nếu kết quả S>0 thì hàm số đã cho đồng biến.
• Nếu kết quả S<0 thì hàm số đã cho nghịch biến.

Cụ thể với bài này: Nhấn tổ hợp SHIFT+ tích phân để tính đạo hàm tại một điểm.

Loại đáp án D vì TXĐ $D=\mathbb{R} \setminus \left\{2 \right\}$.

Nhập

thu được kết quả 6>0 nên loại A.

Nhập 

thu được kết quả 1,556>0 nên loại C.

Ví dụ 2: Để hàm số $y=x^{3}+3mx^{2}-4mx+4$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì 

Giải:

Bước 1: Nhập dữ liệu với biến x ta gán vào biến X, tham số đi kèm ta gán vào biến Y.

Bước 2: Gán giá trị 

• Gán giá trị cho biến X: Ta gán một giá trị nào đó trong tập xác định cho trước.
• Gán giá trị cho biến Y: Chúng ta quan sát vào các đáp án để gán gia trị cho biến Y.

Cụ thể: 

- Nhập dữ liệu

- Gán giá trị (ấn nút CALC)

• Vì tập xác định bằng $\mathbb{R}$ nên gán giá trị X=0.
• Quan sát đáp án thấy m=0 đáp án nào cũng có nên ta không gán $m=Y=0$. Hai đáp án A và C có chiều như nhau. B và D cũng vậy.

+ Gán $m=Y=\frac{3}{4}$ ta có 

Kết quả <0 nên loại A và C.

+ Gán $m=Y=-\frac{4}{3}$

Kết quả > 0 nên loại D.

Ví dụ 3: Hàm số $y=\frac{m}{3}x^{3}-(m-1)x^{2}+(m-2)x+\frac{1}{3}$ đồng biến trên $[2,+\infty)$.

Giải:

Đồng biến trên $[2,+\infty)$ nên gán $X=2$.

Gán $Y=0$, kết quả >0 thì chỉ có B đúng.

Bài tập áp dụng

Bài 1: Hàm số $y=(m-x)x^{2}-m$ đồng biến trên $(1,2)$ khi

Bài 2: Hàm số $y=x^{3}-3(2m+1)x^{2}+(12m+5)x+2$ đồng biến trên khoảng $(2,+\infty)$ khi

Bài toán 5: Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Phương pháp:

- Nếu hàm số $y=f(x)$ liên tục trên [a,b] và có đạo hàm trong khoảng (a,b) thì luôn có GTLN, GTNN trên đoạn [a,b] và tìm như sau:

• Bước 1: MODE 7
• Bước 2: Nhập hàm $f(x)$ ấn phím = sau đó nhập Start=a, End=b, Step= $\frac{b-a}{1}$. 
• Bước 3: Dựa vào bảng giá trị, tìm GTLN, GTNN của hàm số.

Ví dụ: Giá trị lớn nhất của hàm số $y=x^{3}-3x^{2}-9x+35$ trên đoạn $[-1,1]$ là 

Bước 1: MODE 7

Bước 2: Nhập $f(X)=X^{3}-3X^{2}-9X+35$ ấn phím = sau đó nhập Start=-1. End=1. Step= 0.2

Bước 3: Tra bảng nhận được và tìm GTLN

Dựa vào bảng trên, ta thấy GTLN của hàm số là 40.

Chú ý: Cách làm này vẫn đúng khi tìm GTLN và GTNN của một hàm số bất kì trên $[a,b]$.

- Tìm GTLN, GTNN của hàm số không cho miền xác định của x.

• Bước 1: Tìm y'
• Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình y'=0.
• Bước 3: Tính giá trị của y tại các giá trị của nghiệm trên rồi kết luận.

Bài toán 6: Bài toán tương giao

Phương pháp: Dựa vào đáp án để thử.

Ví dụ: Tìm m để (C): $y=-2x^{3}+6x^{2}+1$ và $d: y=mx+1$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt.

Giải: Nhận thấy cả 4 đáp án đều có điều kiện $m \neq 0$ nên ta bỏ qua điều kiện này trong quá trình thử.

- Đầu tiên ta thử với m=5, ta thấy phương trình có 1 nghiệm thực nên loại B, D.

- Thử tiếp với m=0, ta được phương trình có 3 nghiệm thực nên loại C nhận A.