I. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ XÁC SUẤT

1. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu

HĐ1:

Ví dụ về phép thử: Lấy viên bi ngẫu nhiên từ trong hộp, lấy bài ngẫu nhiên từ trong bộ bài,…

Kết luận: 

Có những phép thử mà ta không thể đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó. Những phép thử như thế gọi là phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử). 

HĐ2:

Tập hợp $\Omega$ các kết quả có thể xảy ra của phép thử trên là $\Omega = \left \{ 1; 2; 3; 4; 5; 6 \right \}$.

Nhận xét:

Tập hợp $\Omega$ gọi là không gian mẫu của phép thử. 

Kết luận:

Tập hợp $\Omega$ các kết quả có thể xảy ra của một phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử đó. 

Ví dụ 1, 2 (SGK – tr47)

2. Biến cố 

a. Định nghĩa

HĐ3:

a. Sự kiện “Kết quả của hai lần tung là giống nhau” tương ứng với tập con $A = \left \{ SS; NN \right \}$. 

Tập con $B = \left \{  {SN; NS} \right \}$ của không gian mẫu $\Omega$ được phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện là: “Kết quả của hai lần tung là khác nhau”

Nhận xét:

+ Mỗi sự kiện liên quan đến phép thử $T$ tương ứng với một (và chỉ một) tập con $A$ của không gian mẫu $\Omega$.

+ Ngược lại, mỗi tập con $A$ của không gian mẫu $\Omega$ có thể phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện liên quan đến phép thử $T$. 

Kết luận:

Biến cố ngẫu nhiên (gọi tắt là biến cố) là một tập con của không gian mẫu. 

Chú ý: Vì sự kiện chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của một biến cố nên ta cũng gọi sự kiện là biến cố. Chẳng hạn: Sự kiện: “Kết quả của hai lần tung là giống nhau” trong phép thử “Tung một đồng xu hai lần liên tiếp” là một biến cố. 

Ví dụ 3 (SGK – tr48)

Luyện tập 1:

a. Sự kiện “Số chấm trong lần gieo thứ hai là 6” tương ứng với biến cố:

$A = \left \{ (1; 6); (2; 6); (3; 6); (4; 6); (5; 6); (6; 6)\right \}$

Biến cố $E$ của không gian mẫu (trong phép thử trên) được phát biểu dưới dạng mệnh đề nêu sự kiện là: “Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo không bé hơn $11$”

b. Biến cố không. Biến cố chắc chắn

Tập rỗng $∅$ cũng là một biến cố, gọi là biến cố không thể (gọi tắt là biến cố không). Còn tập hợp $\Omega$ gọi là biến cố chắc chắn. 

c. Biến cố đối

Tập con $\Omega\setminus A$ xác định một biến cố, gọi là biến cố đối của biến cố $A$, kí hiệu là $\overline{A}$

Chú ý: 

Nếu biến cố $A$ được mô tả dưới dạng mệnh đề toán học $Q$ thì biến cố đối $\overline{A}$ được mô tả bằng mệnh đề phủ định của mệnh đề $Q$ (tức là mệnh đề $Q$). 

3. Xác suất của biến cố

HĐ4:

+ Không gian mẫu của phép thử là: $\Omega= \left \{ SS;SN;NS;NN\right \}$

Vậy $n(\Omega) = 4$

+ Các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: $A = \left \{ SS; NN\right \}$ 

Vậy $n(A) = 2$

+ Xác suất của biến cố A là $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}= \frac{2}{4}= \frac{1}{2}$

Kết luận:

Xác suất của biến cố $A$, kí hiệu là $P(A)$, bằng tỉ số $\frac{n(A)}{n(\Omega)}$, ở đó $n(A), n(\Omega)$ lần lượt là số phần tử của hai tập hợp $A$ và $\Omega$. Như vậy: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$.

Ví dụ 4 – 6 (SGK – tr49, 50)

Luyện tập 2:

+ Tổng số bông hoa là: $5 + 5 + 6 =16$ (bông).

+ Số phần tử của không gian mẫu là: $n(\Omega) = C_{16}^4$ (phần tử)

+ Gọi A là biến cố “bốn bông hoa chọn ra có cả ba màu”

TH1: 2 trắng, 1 vàng, 1 đỏ: $C_5^2.5.6$ (cách chọn).

TH2: 1 trắng, 2 vàng, 1 đỏ: $5.C_5^2.6$ (cách chọn).

TH3: 1 trắng, 1 vàng, 2 đỏ: $5.5.C_6^2$ (cách chọn).

+ Áp dụng quy tắc cộng, ta có $n(A) = 975$ (cách chọn)

+ Xác suất của biến cố A là: $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}= \frac{15}{28}$

II. TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT

Kết luận:

+ $P(∅) = 0; P(\Omega) = 1$;

+ $0 \leq P(A) \leq 1$ với mỗi biến cố $A$;

+ $P(\overline{A}) = 1 – P(A)$ với mỗi biến cố $A$. 

Chứng minh:

+ Xác suất của biến cố không là 

$P(∅) = \frac{n(∅)}{n(\Omega)}= \frac{0}{n(\Omega)}= 0$;

Xác suất của biến cố chắc chắn là 

$P(\Omega) = \frac{n(Ω)}{n(\Omega)}= 1$

+ Do $P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}$ và $0 \leq P(A) \leq 1$ với mỗi biến cố $A$.

+ Do $n(\Omega\setminus A)$= $n(\Omega) – n(A)$ nên xác suất của biến cố $\overline{A}$ là:

$P(\overline{A})= \frac{n(\Omega\setminus A )}{n(\Omega )}= \frac{n(\Omega )-n(A)}{n(\Omega )}= 1-\frac{n(A)}{n(\Omega )} = 1-P(A)$.

Ví dụ 7 (SGK – tr51)

Luyện tập 3: 

+ Số phần tử của không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{30}^{10}$ 

+ Gọi A là biến cố “Trong $10$ bông hoa được chọn ra có ít nhất một bông màu trắng”

Vậy $\overline{A}$ là biến cố “Trong $10$ bông hoa được chọn ra đều là hoa màu vàng”

+ Số phần tử của biến cố $\overline{A}$ là: $n(\overline{A}) = C_{15}^{10}$

+ Xác suất của biến cố $\overline{A}$ là: 

$P(\overline{A}) = \frac{n(\overline{A})}{n(\Omega)}= \frac{C_{15}^{10}}{C_{30}^{10}}$

Vậy xác suất của biến cố $A$ là: $P(A) = 1 – P(\overline{A})= \frac{1004}{1005}$

III. NGUYÊN LÍ XÁC SUẤT BÉ

Qua thực nghiệm và quan sát thực tế, người ta thấy rằng các biến cố xác suất bé sẽ gần như không xảy ra trong phép thử. 

Chẳng hạn, mỗi chuyến bay đều có một xác suất rất bé bị xảy ra tai nạn. Nhưng trên thực tế, tai nạn của một chuyến bay sẽ không xảy ra. 

Kết luận:

Nguyên lí xác suất bé: Nếu một biến cố ngẫu nhiên có xác suất rất bé thì thực tế có thể cho rằng trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra.