Giải Câu 7 Bài Ôn tập cuối năm

a) Chứng minh $\widehat{SBC}=90^0$

     Ta có: \(\left. \matrix{
SA \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right) \hfill \cr 
AB \bot BC \hfill \cr} \right\} \Rightarrow SB \bot BC\) (định lí 3 đường vuông góc)

    \( \Rightarrow \widehat {ABC} = {90^0}\) 

   Gọi \(K\) là trung điểm của \(AD\).

   \(ABCK\) là hình vuông nên \(CK = a  \Rightarrow CK = {1 \over 2}A{\rm{D}}\) 

   Tam giác ACD có trung tuyến CK bằng \({1 \over 2}\) cạnh tương ứng nên ACD là tam giác vuông tại C

   => AC $\perp $ CD

    \(\left. \matrix{
SA \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right) \hfill \cr 
AC \bot C{\rm{D}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow SC \bot C{\rm{D}}\) (định lí 3 đường vuông góc)

   \(\Rightarrow \widehat {SC{\rm{D}}} = {90^0}\)

b) Ta có :

    \(\left. \matrix{
AB \bot SA \hfill \cr 
AB \bot A{\rm{D}} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \left. \matrix{
AB \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right) \hfill \cr 
S{\rm{D}} \subset \left( {SA{\rm{D}}} \right) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow AB \bot S{\rm{D}}(1)\)

    \(\left. \matrix{
C{\rm{D}} \bot AC \hfill \cr 
C{\rm{D}} \bot SC \hfill \cr} \right\} \Rightarrow \left. \matrix{
C{\rm{D}} \bot \left( {SAC} \right) \hfill \cr 
AC' \subset \left( {SAC} \right) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow AC' \bot C{\rm{D}}\)

     Kết hợp với AC’ $\perp $ SC suy ra AC' $\perp $ (SCD)

    Vậy

     \(\left. \matrix{
AC' \bot \left( {SC{\rm{D}}} \right) \hfill \cr 
S{\rm{D}} \subset \left( {SC{\rm{D}}} \right) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow AC' \bot S{\rm{D(2)}}\)

    Giả thiết cho AD’ $\perp $ SD (3)

    Từ (1), (2), (3) ta thấy ba đường thẳng AB, AD’, AC’ cùng vuông góc với SC. Vậy chúng cùng nằm trong mặt phẳng ( P) đi qua A và vuông góc với SC.

c) Gọi I là giao điểm của C’D’ với AB.

     \(I ∈ C’D’ ⇒ I ∈ (SCD)\)

     \(I  ∈ AB ⇒ I ∈ (ABCD)\)

     ⇒ I là giao điểm của hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD)

     Hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến CD. Như vậy ba đường thẳng AB, CD, C’D’ đồng quy tại I và AB, CD cố định suy ra I cố đinh.

     Khi S chạy trên Ax thì C’D’ luôn đi qua điểm cố định là giao điểm I của AB và CD