Giải câu 32 bài 6: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình (tiếp theo) sgk Toán đại 9 tập 2 Trang 23

 Gọi x (giờ) là thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể $(x>0)$

y (giờ) là thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể $(y>0)$

Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được $\frac{1}{x}$bể, vòi thứ hai chảy được $\frac{1}{y}$bể.

Cả hai vòi cùng chảy thì bể đầy sau $4\frac{4}{5}=\frac{24}{5}$giờ nên trong 1 giờ cả hai vòi cùng chảy được $\frac{5}{24}$bể.

Ta được phương trình $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{24}$(1)

Trong 9 giờ cả vòi một chảy được $\frac{9}{x}$bể.

Trong $\frac{6}{5}$giờ cả hai vòi chảy được $\frac{6}{5}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )$ bể.

Theo đề bài vòi thứ nhất chảy 9h sau mở vòi hai thì sau $\frac{6}{5}$ giờ thì đầy bể nên ta có phương trình:

$\frac{9}{x}+\frac{6}{5}\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right )=1\Leftrightarrow 9.\frac{1}{x}+\frac{6}{5}.\frac{1}{x}+\frac{6}{5}.\frac{1}{y}=1$

$\Leftrightarrow \frac{51}{5}.\frac{1}{x}+\frac{6}{5}.\frac{1}{y}=1$

Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{24} & \\ \frac{51}{5}.\frac{1}{x}+\frac{6}{5}.\frac{1}{y}=1 & \end{matrix}\right.$

Đặt $\frac{1}{x}=u;\frac{1}{y}=v$

Ta có hệ mới tương đương với hệ phương trình ban đầu là:

$\left\{\begin{matrix}u+v=\frac{5}{24} & \\ \frac{51}{5}u+\frac{6}{5}v=1 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u=\frac{5}{24}-v & \\ \frac{51}{5}u+\frac{6}{5}v=1 & \end{matrix}\right.$

Áp dụng quy tắc thế ta được:

$\left\{\begin{matrix}u=\frac{5}{24}-v & \\ \frac{51}{5}\left ( \frac{5}{24}-v \right )+\frac{6}{5}v=1 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u=\frac{5}{24}-v & \\ \frac{51}{24}-\frac{51}{5}v+\frac{6}{5}v=1 & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u=\frac{5}{24}-v & \\ \frac{45}{5}v=\frac{51}{24}-1 &  \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u=\frac{5}{24}-v & \\ 9v=\frac{27}{24} & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u=\frac{5}{24}-v & \\ v=\frac{1}{8} & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u=\frac{5}{24}-\frac{1}{8} & \\ v=\frac{1}{8} & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u=\frac{2}{24} & \\ v=\frac{1}{8} & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u=\frac{1}{12} & \\ v=\frac{1}{8} & \end{matrix}\right.$

Ta có: $\frac{1}{x}=u\Leftrightarrow \frac{1}{x}=\frac{1}{12}\Leftrightarrow x=12$

Ta có: $\frac{1}{y}=v\Leftrightarrow \frac{1}{y}=\frac{1}{8}\Leftrightarrow x=8$

Vậy nếu từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau 8 giờ thì đầy bể.