Đáp án câu 4 đề 9 kiểm tra học kì 2 Toán 9

a, Vì CK $\perp $ AK nên $\widehat{AKC} = 90^{\circ}$

CH $\perp $ AB tại H nên $\widehat{AHC} = 90^{\circ}$

Xét tứ giác AHCK có: $\widehat{AKC} + \widehat{AHC} = 180^{\circ}$ nên AHCK là tứ giác nội tiếp

b, Tứ giác AHCK nội tiếp $\Rightarrow \widehat{CHK} = \widehat{CAK} = \widehat{CAE}$ (góc nội tiếp chắn cung CK)

Lại có ADCE nội tiếp $\Rightarrow \widehat{CDE} = \widehat{CAE}$ (góc nội tiếp chắn cung CE)

$\Rightarrow \widehat{CDE} = \widehat{CHK}$

$\Rightarrow $ HK // DE.

Do HK// DF, mà H là trung điểm CD (Được suy ra từ quan hệ vuông góc của đường kính AB với dây CD tại H ).

$\Rightarrow $ HK là đường trung bình của $\Delta CDF$

$\Rightarrow $ K là trung điểm FC. 

$\Delta AFC$ có AK là đường cao đồng thời cũng là trung tuyến nên $\Delta AFC$ cân tại K .

c, $\Delta AFC$ cân tại A nên AF = AC.

Dễ thấy $\Delta ACD$ cân tại A nên AC = AD từ 

$\Rightarrow $ AF = AD $\Rightarrow \Delta AFD$ cân tại A, hạ DI $\perp $ AF.

Ta có: $S_{\Delta AFD} = \frac{1}{2}DI.AF = \frac{1}{2}DI.AC$

do AC không đổi nên $S_{\Delta AFD}$ lớn nhất khi và chỉ khi DI lớn nhất.

Trong $\Delta AID$ vuông ta có:

$ID \leq AD = AC$ hay $S_{\Delta AFD} \leq \frac{AC^{2}}{2}$. Dấu "=" xảy ra khi I $\equiv$ A khi đó $\widehat{DAF} = 90^{\circ} \Rightarrow \Delta ADF$ vuông cân tại A $\Rightarrow \widehat{EBA} = \widehat{EDA} = 45^{\circ}$ hay E là điểm chính giữa cung AB.