Dạng 2: Giải phương trình mũ và lôgarit bằng phương pháp lôgarit hai vế

I. Phương pháp giải:

1. Đối với phương trình dạng $a^{f(x)}=b^{g(x)}$, với a, b là các số dương khác 1.

Khi đó lấy lôgarit cơ số a hai vế ta được phương trình tương đương:

$f(x)=g(x).\log_a b$.

2. Đối với phương trình dạng $a^{f(x)}.b^{g(x)}=c$, với a, b, c là các số dương khác 1.

Khi đó lấy lôgarit cơ số a hai vế ta được phương trình tương đương:

$f(x)+ b.\log_a g(x)=\log_a c$.

II. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Tìm tập nghiệm S của phương trình $2^{x-1}=3^{(x-1)^2}$.

Bài giải: Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế, ta được:

$x-1=(x-1)^2.\log_2 3$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x-1=0 \\1=(x-1).\log_2 3\end{array}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=1 \\x=1+\log_3 2\end{array}\right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S={1; 1+\log_3 2}$.

Bài tập 2: Tính tổng T tất cả các nghiệm thực của phương trình $2^x. 3^{x^2}=6^x.$

Bài giải: Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế, ta được:

$x+x^2.\log_2 3=x(1+\log_2 3)\Leftrightarrow x^2=x \Leftrightarrow  \left[\begin{array}{l}x=0 \\x=1 \end{array}\right. $

Vậy $T=1.$