Dạng 2: Dùng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức chứa mũ và lôgarit

I. Phương pháp giải:

II. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Chứng minh bất đẳng thức: 

$\arctan x - \frac{\pi}{4}\geq \ln (1+x^2)-ln2 ; \forall x\in [\frac{1}{2};1].$

Bài giải: Ta có $\arctan x - \frac{\pi}{4}\geq \ln (1+x^2)-ln2 \Leftrightarrow \arctan x - \ln (1+x^2)\geq \frac{\pi}{4}-\ln2$.

Xét hàm số $\arctan x - \ln (1+x^2)$ với $x\in [\frac{1}{2};1].$

Ta có $f'(x)=\frac{1}{1+x^2}-\frac{2x}{1+x^2}=\frac{1-2x}{1+x^2}.$

$f'(x)=0 \Leftrightarrow 1-2x=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$.

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta được $\arctan x - \ln (1+x^2) \geq  \frac{\pi}{4} -ln2 ; \forall x\in [\frac{1}{2};1].$ 

Vậy $\arctan x - \frac{\pi}{4}\geq \ln (1+x^2)-ln2 ; \forall x\in [\frac{1}{2};1].$

Bài tập 2: Chứng minh $e^x\geq 1+x ; \forall x>0.$

Bài giải: Xét hàm số $e^x -1-x$ với $x\in [0; +\infty)$.

Ta có: $f'(x)=e^x-1>e^0-1=0$ với $x\in [0; +\infty)$.