Dạng 1: Tìm giới hạn của các hàm số mũ và lôgarit

I. Phương pháp giải

1. Biến đổi đưa về các dạng cơ bản

II. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Tìm các giới hạn sau

a) $\lim_{x\to 0}\frac{\tan x-x}{x-\sin x}$

b) $\lim_{x\to 0}\frac{ x^3}{x-\sin x}$.

Bài giải:

a) Ta có: $\lim_{x\to 0}\frac{\tan x-x}{x-\sin x}$ = $\lim_{x\to 0}\frac{(\tan x-x)'}{(x-\sin x)'}$

$= \lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{\cos^2 x}-1}{1-\cos x}$= $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos^2 x}{(1-\cos x).\cos^2 x}$

$=\lim_{x\to 0}\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{(1-\cos x).\cos^2 x}$ = $\lim_{x\to 0}\frac{1+\cos x}{\cos^2 x}$ = 2.

b) Ta có $\lim_{x\to 0}\frac{ x^3}{x-\sin x}$ = $\lim_{x\to 0}\frac{ (x^3)'}{(x-\sin x)'}$.

$=\lim_{x\to 0}\frac{ 3x^2}{1-\cos x}$= $=\lim_{x\to 0}\frac{ 6x}{\sin x}$

$=\lim_{x\to 0}\frac{ 6}{cos x}=6.$

Bài tập 2: Tìm giới hạn của các hàm số sau

a) $\lim_{x\to 0}\frac{2\sin x-\sin 2x}{x^3}$

b) $\lim_{x\to +\infty}(x+2)\sin \frac{2}{x}$.

Bài giải: a) Ta có: $\lim_{x\to 0}\frac{2\sin x-\sin 2x}{x^3}$ =  $\lim_{x\to 0}\frac{2\sin x-2\sin x\cos x}{x^3}$

$=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin x(1-\cos x)}{x^3}$ = $\lim_{x\to 0}\frac{4\sin x .  \sin^2\frac{x}{2}}{x^3}$

= $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x }{x}. \frac{ \sin^2\frac{x}{2}}{\frac{x^2}{4}} = 1$ 

b) Đặt $\frac{1}{x}=t$, ta có:

$\lim_{x\to +\infty}(x+2)\sin \frac{2}{x}$ =  $\lim_{t\to 0}(\frac{1}{t}+2).\sin 2t $

=  $\lim_{t\to 0} 2\sin t $ + $\lim_{t\to 0} 2\frac{\sin t}{t}.\cos t =2.$